Uma bola de naftalina, com
de raio, sublima de forma que a área de sua superfície decresce a uma taxa de 0,35
. A que taxa o volume da bola de naftalina estará diminuindo quando o seu raio medir
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma bola de naftalina que está diminuindo de tamanho. A gente sabe que a área da superfície está diminuindo a uma certa taxa, e precisamos descobrir como o volume da bola está mudando quando o raio dela é de 0,9 cm. Vamos usar conceitos de geometria e cálculo, especificamente derivadas relacionadas a áreas e volumes de esferas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar das fórmulas importantes para uma esfera:
- Área da superfície (S):
- Volume (V):
Aqui,
é o raio da esfera. Nosso objetivo é encontrar a taxa de variação do volume (
) quando
cm, dado que a taxa de variação da área (
) é -0,35 cm²/min.
Passo 3
Vamos diferenciar as fórmulas em relação ao tempo
para relacionar as taxas de variação:
- Derivando a área:
- Derivando o volume:
Aqui,
é a taxa de variação do raio que vamos precisar descobrir.
Passo 4
Primeiro, vamos encontrar
usando a taxa de variaç��o da área:
Isolando
:
Substituindo os valores conhecidos (
cm²/min e
cm):
Passo 5
Calculando
:
Passo 6
Agora, vamos usar
para encontrar
:
Substituindo
cm e
cm/min:
Passo 7
Calculando
:
Resposta
A taxa de diminuição do volume da bola de naftalina quando o raio mede 0,9 cm é aproximadamente
cm³/min.
Exercícios relacionados
Calcule
.
Calcule
.
Mostre que
é contínua em
:
e
Calcule os limites a seguir usando a regra de L