Uma bola de naftalina, com de raio, sublima de forma que a área de sua superfície decresce a uma taxa de 0,35 . A que taxa o volume da bola de naftalina estará diminuindo quando o seu raio medir ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma bola de naftalina que está diminuindo de tamanho. A gente sabe que a área da superfície está diminuindo a uma certa taxa, e precisamos descobrir como o volume da bola está mudando quando o raio dela é de 0,9 cm. Vamos usar conceitos de geometria e cálculo, especificamente derivadas relacionadas a áreas e volumes de esferas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das fórmulas importantes para uma esfera:
  • Área da superfície (S):
  • Volume (V):
Aqui, é o raio da esfera. Nosso objetivo é encontrar a taxa de variação do volume ( ) quando cm, dado que a taxa de variação da área ( ) é -0,35 cm²/min.

Passo 3

Vamos diferenciar as fórmulas em relação ao tempo para relacionar as taxas de variação:
  • Derivando a área:
  • Derivando o volume:
Aqui, é a taxa de variação do raio que vamos precisar descobrir.

Passo 4

Primeiro, vamos encontrar usando a taxa de variaç��o da área:
Isolando :
Substituindo os valores conhecidos ( cm²/min e cm):

Passo 5

Calculando :

Passo 6

Agora, vamos usar para encontrar :
Substituindo cm e cm/min:

Passo 7

Calculando :

Resposta

A taxa de diminuição do volume da bola de naftalina quando o raio mede 0,9 cm é aproximadamente cm³/min.

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Calcule .
Calcule .
Mostre que é contínua em :
e
Calcule os limites a seguir usando a regra de L