Calcule
.
Passo 1
Então, a gente tem a função . O objetivo é encontrar a derivada dessa função, ou seja,
. Para resolver isso, vamos usar a Regra da Cadeia, que é uma técnica fundamental em cálculo para derivar funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as diferentes camadas da função composta que temos aqui. Podemos pensar em
como uma função dentro de outra função, dentro de outra, e assim por diante. Vamos quebrar isso:
- Camada mais interna:
- Próxima camada:
- Camada seguinte:
- Camada externa:
Passo 3
Agora, vamos derivar cada uma dessas camadas individualmente:
-
Derivada de
: Aqui, usamos a regra de derivação para, que é . -
Derivada de
: Novamente, aplicamos a derivada de. -
Derivada de :Aqui, usamos a derivada da função arco seno.
-
Derivada de
: Mais uma vez, aplicamos a derivada de uma raiz quadrada.
Passo 4
Agora, aplicamos a Regra da Cadeia, que nos diz que a derivada da função composta é o produto das derivadas de cada camada avaliada nas funções anteriores. Ou seja:
Substituindo as derivadas que encontramos:
Passo 5
Agora, substituímos ,
, e
na expressão acima:
Resposta
A derivada é
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Calcule
.
Calcule
.
Uma bola de naftalina, com
de raio, sublima de forma que a área de sua superfície decresce a uma taxa de 0,35
. A que taxa o volume da bola de naftalina estará diminuindo quando o seu raio medir
?
Mostre que
é contínua em
:
e