Calcule .

Passo 1

Então, a gente tem a função . O objetivo é encontrar a derivada dessa função, ou seja, . Para resolver isso, vamos usar a Regra da Cadeia, que é uma técnica fundamental em cálculo para derivar funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as diferentes camadas da função composta que temos aqui. Podemos pensar em como uma função dentro de outra função, dentro de outra, e assim por diante. Vamos quebrar isso:
  1. Camada mais interna:
  2. Próxima camada:
  3. Camada seguinte:
  4. Camada externa:

Passo 3

Agora, vamos derivar cada uma dessas camadas individualmente:
  1. Derivada de :
    Aqui, usamos a regra de derivação para , que é .
  2. Derivada de :
    Novamente, aplicamos a derivada de .
  3. Derivada de :
    Aqui, usamos a derivada da função arco seno.
  4. Derivada de :
    Mais uma vez, aplicamos a derivada de uma raiz quadrada.

Passo 4

Agora, aplicamos a Regra da Cadeia, que nos diz que a derivada da função composta é o produto das derivadas de cada camada avaliada nas funções anteriores. Ou seja:
Substituindo as derivadas que encontramos:

Passo 5

Agora, substituímos , , e na expressão acima:

Resposta

A derivada é

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Mostre que é contínua em :
e