Calcule os limites a seguir usando a regra de L lim x 0^+ x+1-e^xx^3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular o limite:
limx to 0^+ x + 1 - e^xx^3
Vamos usar a Regra de L’Hospital, que é uma técnica para resolver limites que resultam em formas indeterminadas como ou .

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o comportamento do numerador e do denominador quando e^x approx 1 + x + x^22 + x^36 + dots se aproxima de 0 pela direita.
  • Numerador: x + 1 - e^x approx x + 1 - (1 + x + x^22 + x^36) = -x^22 - x^36 + dots
    Quando tende a 0:
    Então:
    Portanto, o numerador tende a 0.
  • Denominador:
    Quando tende a 0, também tende a 0.
Como tanto o numerador quanto o denominador tendem a 0, temos uma forma indeterminada . Isso nos permite aplicar a Regra de L’Hospital.

Passo 3

A Regra de L’Hospital diz que se temos:
limx to c f(x)g(x) = 00 ou inftyinfty
Então:
limx to c f(x)g(x) = limx to c f'(x)g'(x)
Vamos calcular as derivadas do numerador e do denominador.
  • Primeira Derivada do Numerador:
    ddx(x + 1 - e^x) = 1 - e^x
  • Primeira Derivada do Denominador:
    ddx(x^3) = 3x^2
Então, aplicando a Regra de L’Hospital:
limx to 0^+ 1 - e^x3x^2

Passo 4

Vamos verificar novamente o limite após a primeira derivada.
Quando ddx(1 - e^x) = -e^x tende a 0:
  • Numerador: ddx(3x^2) = 6x tende a 0.
  • Denominador: limx to 0^+ -e^x6x tende a 0.
Ainda temos a forma indeterminada , então aplicamos a Regra de L’Hospital novamente.
  • Segunda Derivada do Numerador:
  • Segunda Derivada do Denominador:
Aplicando a Regra de L’Hospital novamente:

Passo 5

Vamos analisar o novo limite:
limx to 0^+ -e^x6x
Quando -10^+ = -infty tende a 0:
  • Numerador:
  • Denominador: tende a 0.
Então, temos:
Isso significa que o limite tende a menos infinito.

Resposta

limx to 0^+ x + 1 - e^xx^3 = -infty

Exercícios relacionados