Calcule os limites a seguir usando a regra de L

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular o limite:
Vamos usar a Regra de L’Hospital, que é uma técnica para resolver limites que resultam em formas indeterminadas como ou .

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o comportamento do numerador e do denominador quando se aproxima de 0 pela direita.
  • Numerador:
    Quando tende a 0:
    Então:
    Portanto, o numerador tende a 0.
  • Denominador:
    Quando tende a 0, também tende a 0.
Como tanto o numerador quanto o denominador tendem a 0, temos uma forma indeterminada . Isso nos permite aplicar a Regra de L’Hospital.

Passo 3

A Regra de L’Hospital diz que se temos:
Então:
Vamos calcular as derivadas do numerador e do denominador.
  • Primeira Derivada do Numerador:
  • Primeira Derivada do Denominador:
Então, aplicando a Regra de L’Hospital:

Passo 4

Vamos verificar novamente o limite após a primeira derivada.
Quando tende a 0:
  • Numerador: tende a 0.
  • Denominador: tende a 0.
Ainda temos a forma indeterminada , então aplicamos a Regra de L’Hospital novamente.
  • Segunda Derivada do Numerador:
  • Segunda Derivada do Denominador:
Aplicando a Regra de L’Hospital novamente:

Passo 5

Vamos analisar o novo limite:
Quando tende a 0:
  • Numerador:
  • Denominador: tende a 0.
Então, temos:
Isso significa que o limite tende a menos infinito.

Resposta

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e
Uma bola de naftalina, com de raio, sublima de forma que a área de sua superfície decresce a uma taxa de 0,35 . A que taxa o volume da bola de naftalina estará diminuindo quando o seu raio medir ?
Mostre que é contínua em :
e
Calcule os limites a seguir usando a regra de L