Calcule os limites a seguir usando a regra de L
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular o limite:
Vamos usar a Regra de L’Hospital, que é uma técnica para resolver limites que resultam em formas indeterminadas como
ou
.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar o comportamento do numerador e do denominador quando
se aproxima de 0 pela direita.
-
Numerador:Quando
tende a 0: Então:Portanto, o numerador tende a 0. -
Denominador:Quando
tende a 0, também tende a 0.
Como tanto o numerador quanto o denominador tendem a 0, temos uma forma indeterminada
. Isso nos permite aplicar a Regra de L’Hospital.
Passo 3
A Regra de L’Hospital diz que se temos:
Então:
Vamos calcular as derivadas do numerador e do denominador.
-
Primeira Derivada do Numerador:
-
Primeira Derivada do Denominador:
Então, aplicando a Regra de L’Hospital:
Passo 4
Vamos verificar novamente o limite após a primeira derivada.
Quando
tende a 0:
- Numerador:
tende a 0. - Denominador:
tende a 0.
Ainda temos a forma indeterminada
, então aplicamos a Regra de L’Hospital novamente.
-
Segunda Derivada do Numerador:
-
Segunda Derivada do Denominador:
Aplicando a Regra de L’Hospital novamente:
Passo 5
Vamos analisar o novo limite:
Quando
tende a 0:
- Numerador:
- Denominador:
tende a 0.
Então, temos:
Isso significa que o limite tende a menos infinito.
Resposta
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é contínua em
:
e
Uma bola de naftalina, com
de raio, sublima de forma que a área de sua superfície decresce a uma taxa de 0,35
. A que taxa o volume da bola de naftalina estará diminuindo quando o seu raio medir
?
Mostre que
é contínua em
:
e
Calcule os limites a seguir usando a regra de L