Uma bola está parada sobre o gramado de um campo de futebol na posição A. Um jogador chuta a bola para cima, com vetor velocidade inicial de módulo 15 m / s e que faz um ângulo de 45^circ com a horizontal. Despreze a resistência do ar e considere a aceleração da gravidade g=10 m / s^2.
Escreva o vetor posição r(t) e o vetor velocidade v(t) do pacote.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma bola parada no gramado, que é chutada com uma velocidade inicial de 15 m/s formando um ângulo de 45° com a horizontal. A gente precisa encontrar duas coisas: o vetor posição r(t) e o vetor velocidade v(t) da bola ao longo do tempo. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de movimento vetorial e cinemática, especialmente as equações do movimento uniformemente variado, já que a gravidade está agindo sobre a bola.
Passo 2
Primeiro, vamos decompor a velocidade inicial nos eixos horizontal (x) e vertical (y). Sabemos que a velocidade inicial v0 tem magnitude 15 m/s e faz um ângulo de 45° com a horizontal. Usamos funções trigonométricas para isso:
Agora, vamos montar as equações para a posição em cada eixo. A posição horizontal (x) varia de forma uniforme, já que não há aceleração horizontal (resistência do ar é desprezada). Já a posição vertical (y) sofre a influência da aceleração da gravidade (g = 10 , m/s²²) para baixo.
A equação da posição horizontal é:
x(t) = v0x cdot t = 10.6 cdot t
A equação da posição vertical é:
y(t) = v0y cdot t - 12 g t² = 10.6 cdot t - 5 t² ²²
Passo 4
Com as equações de posição em cada direção, podemos escrever o vetor posição r(t) combinando as componentes x e y:
r(t) = x(t) cdot i + y(t) cdot j = (10.6 , t) cdot i + (10.6 , t - 5 , t²) cdot j ²
Passo 5
Agora, vamos encontrar o vetor velocidade v(t). A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Derivando as equações de posição: