Uma bola está parada sobre o gramado de um campo de futebol na posição A. Um jogador chuta a bola para cima, com vetor velocidade inicial de módulo e que faz um ângulo de com a horizontal. Despreze a resistência do ar e considere a aceleração da gravidade .
Escreva o vetor posição e o vetor velocidade do pacote.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma bola parada no gramado, que é chutada com uma velocidade inicial de 15 m/s formando um ângulo de 45° com a horizontal. A gente precisa encontrar duas coisas: o vetor posição e o vetor velocidade da bola ao longo do tempo. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de movimento vetorial e cinemática, especialmente as equações do movimento uniformemente variado, já que a gravidade está agindo sobre a bola.
Passo 2
Primeiro, vamos decompor a velocidade inicial nos eixos horizontal (x) e vertical (y). Sabemos que a velocidade inicial tem magnitude 15 m/s e faz um ângulo de 45° com a horizontal. Usamos funções trigonométricas para isso:
Passo 3
Agora, vamos montar as equações para a posição em cada eixo. A posição horizontal (x) varia de forma uniforme, já que não há aceleração horizontal (resistência do ar é desprezada). Já a posição vertical (y) sofre a influência da aceleração da gravidade (²) para baixo.
A equação da posição horizontal é:
A equação da posição vertical é:
²²
Passo 4
Com as equações de posição em cada direção, podemos escrever o vetor posição combinando as componentes x e y:
²
Passo 5
Agora, vamos encontrar o vetor velocidade . A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Derivando as equações de posição:
Para a componente x:
Para a componente y:
Então, o vetor velocidade fica:
Resposta
As expressões dos vetores posição e velocidade da bola são: