Uma bola está parada sobre o gramado de um campo de futebol na posição A. Um jogador chuta a bola para cima, com vetor velocidade inicial vo de módulo 15 m / s e que faz um ângulo de 45^circ com a horizontal. Despreze a resistência do ar e considere a aceleração da gravidade g=10 m / s^2.
Escreva o vetor posição r(t) e o vetor velocidade v(t) do pacote.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma bola parada no gramado, que é chutada com uma velocidade inicial de 15 m/s formando um ângulo de 45° com a horizontal. A gente precisa encontrar duas coisas: o vetor posição r(t) e o vetor velocidade v(t) da bola ao longo do tempo. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de movimento vetorial e cinemática, especialmente as equações do movimento uniformemente variado, já que a gravidade está agindo sobre a bola.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a velocidade inicial nos eixos horizontal (x) e vertical (y). Sabemos que a velocidade inicial v0 tem magnitude 15 m/s e faz um ângulo de 45° com a horizontal. Usamos funções trigonométricas para isso:
v0x = v0 cdot cos(theta) = 15 cdot cos(45°) = 15 cdot raiz22 approx 10.6 , m/s
v0y = v0 cdot sin(theta) = 15 cdot sin(45°) = 15 cdot raiz22 approx 10.6 , m/s

Passo 3

Agora, vamos montar as equações para a posição em cada eixo. A posição horizontal (x) varia de forma uniforme, já que não há aceleração horizontal (resistência do ar é desprezada). Já a posição vertical (y) sofre a influência da aceleração da gravidade ( g = 10 , m/s²²) para baixo.
A equação da posição horizontal é:
x(t) = v0x cdot t = 10.6 cdot t
A equação da posição vertical é:
y(t) = v0y cdot t - 12 g t² = 10.6 cdot t - 5 t² ²²

Passo 4

Com as equações de posição em cada direção, podemos escrever o vetor posição r(t) combinando as componentes x e y:
r(t) = x(t) cdot i + y(t) cdot j = (10.6 , t) cdot i + (10.6 , t - 5 , t²) cdot j ²

Passo 5

Agora, vamos encontrar o vetor velocidade v(t). A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Derivando as equações de posição:
Para a componente x:
vx(t) = ddt x(t) = 10.6 , m/s
Para a componente y:
vy(t) = ddt y(t) = 10.6 - 10 , t
Então, o vetor velocidade fica:
v(t) = vx(t) cdot i + vy(t) cdot j = 10.6 cdot i + (10.6 - 10 , t) cdot j

Resposta

As expressões dos vetores posição e velocidade da bola são:
r(t) = (10.6 , t) cdot i + (10.6 , t - 5 , t²) cdot j ²
v(t) = 10.6 cdot i + (10.6 - 10 , t) cdot j

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