A partir das equações de Maxwell, encontre o campo magnético, no vácuo, sabendo que nesse mesmo ambiente existe um campo elétrico E, no vácuo, com valor correspondente a: E=E0 sin (omega t-beta z) onde

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos pede para encontrar o campo magnético B no vácuo, sabendo que já temos um campo elétrico E dado por E = E0 sin (omega t - beta z). Vamos utilizar as Equações de Maxwell, que são as leis fundamentais do eletromagnetismo. Para isso, vamos precisar entender como essas equações se aplicam em um espaço vazio (vácuo), onde não há cargas ou correntes elétricas.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação de Maxwell que relaciona o campo elétrico E e o campo magnético B. No vácuo, uma das equações de Maxwell que nos interessa é a Lei de Faraday, que diz:
nabla times E = -partial Bpartial t
Essa equação nos diz que a variação do campo elétrico no espaço gera um campo magnético.

Passo 3

Agora, precisamos calcular o rotacional (ou “curl”) do campo elétrico E. Vamos supor que o campo elétrico está na direção x, ou seja, E = E0 sin (omega t - beta z) x. O rotacional em coordenadas cartesianas é dado por:
nabla times E = ( partial Ezpartial y - partial Eypartial z ) x + ( partial Expartial z - partial Ezpartial x ) y + ( partial Eypartial x - partial Expartial y ) z
Como E só tem componente em x, as derivadas em y e z se simplificam:
nabla times E = partial Expartial z y
Calculando a derivada:
partial Expartial z = E0 cdot (-beta) cos (omega t - beta z)
Então:
nabla times E = -beta E0 cos (omega t - beta z) y

Passo 4

Agora, vamos usar a Lei de Faraday novamente:
-beta E0 cos (omega t - beta z) y = -partial Bpartial t
Podemos simplificar os sinais:
beta E0 cos (omega t - beta z) y = partial Bpartial t
Para encontrar B, vamos integrar em relação ao tempo:
B = integral beta E0 cos (omega t - beta z) dt y + C
Onde C é a constante de integração. Como buscamos uma solução periódica, podemos considerar C = 0.
A integral de cos(omega t - beta z) em relação a t é:
beta E0omega sin (omega t - beta z) y
Então:
B = betaomega E0 sin (omega t - beta z) y

Passo 5

Normalizando a relação entre beta e omega no vácuo, sabemos que a velocidade da luz c é relacionada por:
beta = omegac
Substituindo isso na expressão para B:
B = omega / comega E0 sin (omega t - beta z) y = E0c sin (omega t - beta z) y

Resposta

O campo magnético no vácuo é dado por:
B = E0c sin (omega t - beta z) y

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