A partir das equações de Maxwell, encontre o campo magnético, no vácuo, sabendo que nesse mesmo ambiente existe um campo elétrico , no vácuo, com valor correspondente a: onde

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos pede para encontrar o campo magnético no vácuo, sabendo que já temos um campo elétrico dado por . Vamos utilizar as Equações de Maxwell, que são as leis fundamentais do eletromagnetismo. Para isso, vamos precisar entender como essas equações se aplicam em um espaço vazio (vácuo), onde não há cargas ou correntes elétricas.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação de Maxwell que relaciona o campo elétrico e o campo magnético . No vácuo, uma das equações de Maxwell que nos interessa é a Lei de Faraday, que diz:
Essa equação nos diz que a variação do campo elétrico no espaço gera um campo magnético.

Passo 3

Agora, precisamos calcular o rotacional (ou “curl”) do campo elétrico . Vamos supor que o campo elétrico está na direção , ou seja, . O rotacional em coordenadas cartesianas é dado por:
Como só tem componente em , as derivadas em e se simplificam:
Calculando a derivada:
Então:

Passo 4

Agora, vamos usar a Lei de Faraday novamente:
Podemos simplificar os sinais:
Para encontrar , vamos integrar em relação ao tempo:
Onde é a constante de integração. Como buscamos uma solução periódica, podemos considerar .
A integral de em relação a é:
Então:

Passo 5

Normalizando a relação entre e no vácuo, sabemos que a velocidade da luz é relacionada por:
Substituindo isso na expressão para :

Resposta

O campo magnético no vácuo é dado por:

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