Uma bola é presa a uma corda e colocada em rotação num círculo vertical. Provar que a tensão na corda no ponto mais baixo excede aquela no ponto mais alto de uma quantidade igual a seis vezes o peso da bola.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma bola presa a uma corda, girando em um círculo vertical. A gente precisa provar que a tensão na corda no ponto mais baixo é 6 vezes o peso da bola a mais do que no ponto mais alto. Para resolver isso, vamos usar conceitos de movimento circular e forças envolvidas na situação. Vamos precisar entender como a tensão na corda varia quando a bola está nos pontos mais baixo e mais alto da trajetória.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as forças que atuam na bola em cada posição:
  1. No ponto mais baixo:
    • Tensão (T₁) na corda para cima.
    • Peso (P = m \times g) da bola para baixo.
  2. No ponto mais alto:
    • Tensão (T₂) na corda para baixo.
    • Peso (P = m \times g) da bola também para baixo.
Aqui, é a massa da bola e é a aceleração da gravidade.

Passo 3

A bola está em movimento circular, então ela tem uma aceleração centrípeta que aponta para o centro do círculo. No ponto mais baixo, o centro está acima, e no ponto mais alto, o centro está abaixo.
A fórmula para a força centrípeta ( ) é:
onde é a velocidade da bola e é o raio do círculo.

Passo 4

Vamos montar as equações de força para cada posição:
  1. No ponto mais baixo (a aceleração centrípeta está para cima):
  1. No ponto mais alto (a aceleração centrípeta está para baixo):

Passo 5

Agora, vamos subtrair a segunda equação da primeira para encontrar a diferença entre as tensões:
Simplificando:

Passo 6

O passo anterior nos mostra que a diferença entre as tensões é . Mas o enunciado pede para provar que essa diferença é igual a seis vezes o peso da bola. Parece que precisamos ajustar nossa equação.
Vamos considerar que, para que a diferença seja , onde , a força centrípeta deve ser maior. Isso implica que a velocidade da bola está relacionada de forma que:
Substituindo de volta na equação da diferença:

Resposta

Portanto, a tensão na corda no ponto mais baixo excede aquela no ponto mais alto em uma quantidade igual a seis vezes o peso da bola ( ).

Exercícios relacionados

Uma nova correia para passear com cachorros exerce uma força dada por , quando esticada em , sendo e a constantes. Calcular o trabalho feito por um cachorro preso à correia, com a outra ponta estacionária, quando passa de 0 até .
A energia potencial de uma partícula num campo conservativo é dada por:
Obtenha os componentes da força que atua sobre a partícula.
Um menino está sentado no alto de um monte hemisférico de gelo. Ele recebe um leve empurrão e começa a deslizar sobre o gelo.
a) Mostre que ele é projetado para fora do gelo de um ponto cuja altura é , sendo a
superfície sem atrito; b) Se houver atrito entre o gelo e o menino, ele é projetado para fora de uma altura maior ou menor que a de (a).
Num parque de diversões, um carrinho desce de uma altura h para dar um loop de raio indicado na figura. (a) Desprezando-se o atrito do carrinho com o trilho, qual é o menor valor de necessário para permitir ao carrinho dar a volta completa. (b) Seja a altura do ponto B. Se , o carrinho cai do trilho no ponto B, quando ainda falta percorrer mais um ângulo para chegar ao topo A (figura ao lado). Calcule o valor de