Uma bola é presa a uma corda e colocada em rotação num círculo vertical. Provar que a tensão na corda no ponto mais baixo excede aquela no ponto mais alto de uma quantidade igual a seis vezes o peso da bola.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma bola presa a uma corda, girando em um círculo vertical. A gente precisa provar que a tensão na corda no ponto mais baixo é 6 vezes o peso da bola a mais do que no ponto mais alto. Para resolver isso, vamos usar conceitos de movimento circular e forças envolvidas na situação. Vamos precisar entender como a tensão na corda varia quando a bola está nos pontos mais baixo e mais alto da trajetória.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as forças que atuam na bola em cada posição:
  1. No ponto mais baixo:
    • Tensão (T₁) na corda para cima.
    • Peso (P = m \times g) da bola para baixo.
  2. No ponto mais alto:
    • Tensão (T₂) na corda para baixo.
    • Peso (P = m \times g) da bola também para baixo.
Aqui, é a massa da bola e é a aceleração da gravidade.

Passo 3

A bola está em movimento circular, então ela tem uma aceleração centrípeta que aponta para o centro do círculo. No ponto mais baixo, o centro está acima, e no ponto mais alto, o centro está abaixo.
A fórmula para a força centrípeta ( Fc = m times v^2r ) é:
onde é a velocidade da bola e é o raio do círculo.

Passo 4

Vamos montar as equações de força para cada posição:
  1. No ponto mais baixo (a aceleração centrípeta está para cima):
T₁ - P = Fc Rightarrow T₁ - m times g = m times v^2r
  1. No ponto mais alto (a aceleração centrípeta está para baixo):
T₂ + P = Fc Rightarrow T₂ + m times g = m times v^2r

Passo 5

Agora, vamos subtrair a segunda equação da primeira para encontrar a diferença entre as tensões:
T₁ - m times g - (T₂ + m times g) = 0
Simplificando:
T₁ - T₂ - 2 times m times g = 0 Rightarrow T₁ - T₂ = 2 times m times g

Passo 6

O passo anterior nos mostra que a diferença entre as tensões é m times v^2r = 4 times m times g . Mas o enunciado pede para provar que essa diferença é igual a seis vezes o peso da bola. Parece que precisamos ajustar nossa equação.
Vamos considerar que, para que a diferença seja T₁ - T₂ = 2 times m times g + 4 times m times g = 6 times m times g , onde , a força centrípeta deve ser maior. Isso implica que a velocidade da bola está relacionada de forma que:
Substituindo de volta na equação da diferença:

Resposta

Portanto, a tensão na corda no ponto mais baixo excede aquela no ponto mais alto em uma quantidade igual a seis vezes o peso da bola ( ).

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