Uma bola é presa a uma corda e colocada em rotação num círculo vertical. Provar que a tensão na corda no ponto mais baixo excede aquela no ponto mais alto de uma quantidade igual a seis vezes o peso da bola.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma bola presa a uma corda, girando em um círculo vertical. A gente precisa provar que a tensão na corda no ponto mais baixo é 6 vezes o peso da bola a mais do que no ponto mais alto. Para resolver isso, vamos usar conceitos de movimento circular e forças envolvidas na situação. Vamos precisar entender como a tensão na corda varia quando a bola está nos pontos mais baixo e mais alto da trajetória.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as forças que atuam na bola em cada posição:
-
No ponto mais baixo:
- Tensão (T₁) na corda para cima.
- Peso (P = m \times g) da bola para baixo.
-
No ponto mais alto:
- Tensão (T₂) na corda para baixo.
- Peso (P = m \times g) da bola também para baixo.
Aqui,
é a massa da bola e
é a aceleração da gravidade.
Passo 3
A bola está em movimento circular, então ela tem uma aceleração centrípeta que aponta para o centro do círculo. No ponto mais baixo, o centro está acima, e no ponto mais alto, o centro está abaixo.
A fórmula para a força centrípeta (
) é:
onde
é a velocidade da bola e
é o raio do círculo.
Passo 4
Vamos montar as equações de força para cada posição:
- No ponto mais baixo (a aceleração centrípeta está para cima):
- No ponto mais alto (a aceleração centrípeta está para baixo):
Passo 5
Agora, vamos subtrair a segunda equação da primeira para encontrar a diferença entre as tensões:
Simplificando:
Passo 6
O passo anterior nos mostra que a diferença entre as tensões é
. Mas o enunciado pede para provar que essa diferença é igual a seis vezes o peso da bola. Parece que precisamos ajustar nossa equação.
Vamos considerar que, para que a diferença seja
, onde
, a força centrípeta deve ser maior. Isso implica que a velocidade
da bola está relacionada de forma que:
Substituindo de volta na equação da diferença:
Resposta
Portanto, a tensão na corda no ponto mais baixo excede aquela no ponto mais alto em uma quantidade igual a seis vezes o peso da bola (
).
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, quando esticada em
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