Uma nova correia para passear com cachorros exerce uma força dada por Fx=-k x-a x^2, quando esticada em x, sendo k e a constantes. Calcular o trabalho feito por um cachorro preso à correia, com a outra ponta estacionária, quando x passa de 0 até x0.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está nos pedindo. Temos uma correia que exerce uma força quando é esticada. A força é dada por , onde e são constantes, e é a extensão da correia. Nosso objetivo é calcular o trabalho feito por essa força quando a correia é esticada do ponto até . Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular trabalho usando integrais, já que a força depende de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o trabalho W = integralx1^x2 F(x) , dx feito por uma força variável ao longo de um deslocamento é dado pela integral da força em relação ao deslocamento. Matematicamente, isso é escrito como:
No nosso caso, , e .

Passo 3

Agora, substituímos a força na fórmula do trabalho:
W = integral0^x0 (-k x - a x^2) , dx
Vamos integrar cada termo separadamente.

Passo 4

Vamos integrar o primeiro termo integral (-k x) , dx = -k cdot x^22 = -k2 x^2 :

Passo 5

Agora, integramos o segundo termo integral (-a x^2) , dx = -a cdot x^33 = -a3 x^3 :

Passo 6

Juntando as integrais dos dois termos, temos:
W = [ -k2 x^2 - a3 x^3 ]0^x0
Isso significa que precisamos avaliar essa expressão de até .

Passo 7

Primeiro, substituímos -k2 (x0)^2 - a3 (x0)^3 :
-k2 (0)^2 - a3 (0)^3 = 0
Depois, substituímos . Como ambos os termos têm , eles se tornam zero:

Passo 8

Subtraindo os valores, o trabalho realizado é:
W = ( -k2 x0^2 - a3 x0^3 ) - 0 = -k2 x0^2 - a3 x0^3
O sinal negativo indica que a força está fazendo trabalho contra o deslocamento.

Resposta

O trabalho feito pelo cachorro é dado por:
W = -k2 x0^2 - a3 x0^3

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