Num parque de diversões, um carrinho desce de uma altura h para dar um loop de raio
indicado na figura. (a) Desprezando-se o atrito do carrinho com o trilho, qual é o menor valor de
necessário para permitir ao carrinho dar a volta completa. (b) Seja
a altura do ponto B. Se
, o carrinho cai do trilho no ponto B, quando ainda falta percorrer mais um ângulo
para chegar ao topo A (figura ao lado). Calcule o valor de
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um carrinho que desce de uma altura
para fazer um loop de raio
em um parque de diversões. O objetivo aqui é descobrir duas coisas:
a) Qual é a menor altura
que o carrinho precisa ter para completar o loop sem sair do trilho, considerando que não há atrito?
b) Se a altura inicial
está entre
e
, ou seja,
, o carrinho vai cair no ponto B antes de completar o loop. Precisamos calcular o ângulo
que o carrinho ainda precisa percorrer antes de cair.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de energia mecânica e força centrípeta.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que acontece quando o carrinho desce da altura
. A energia potencial gravitacional na altura
se transforma em energia cinética no ponto mais baixo do loop.
A energia potencial inicial é dada por:
onde:
-
é a massa do carrinho, -
é a aceleração da gravidade, -
é a altura inicial.
A energia cinética no ponto mais baixo é:
Como não há atrito,
, então:
Podemos cancelar
dos dois lados:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Portanto, a velocidade no ponto mais baixo é:
Passo 3
Agora, para o carrinho completar o loop, ele precisa ter velocidade suficiente no topo do loop para que a força centrípeta seja igual à força gravitacional. No topo do loop, as forças que atuam no carrinho são a gravidade e a força centrípeta necessária para mantê-lo na trajetória circular.
A condição mínima para não cair é que a força centrípeta seja pelo menos igual ao peso:
Cancelando
dos dois lados:
Usando a velocidade que encontramos no Passo 2:
Cancelando
:
Mas isso é a condição mínima para ter energia suficiente no ponto mais baixo. Na verdade, no topo do loop, a altura total que o carrinho precisa descer para ter energia suficiente é
. Assim, o menor valor de
é:
Passo 4
Agora, vamos para a parte b) do problema. Se a altura
está entre
e
, o carrinho não tem energia suficiente para completar o loop e cai no ponto B. Precisamos determinar o ângulo
que falta para chegar ao topo A.
A ideia aqui é encontrar a altura
onde o carrinho perde contato com o trilho. No ponto B, a velocidade do carrinho é tal que a força centrípeta não é mais suficiente para manter o contato.
A condição para o carrinho perder contato é:
Vamos usar a conservação de energia para encontrar a velocidade no ponto B. A altura do ponto B em relação ao ponto mais baixo do loop é
.
A energia inicial
se transforma em energia potencial e cinética no ponto B:
Cancelando
:
Multiplicando tudo por 2:
Sabemos que
, então substituindo:
Assim, o ângulo
é dado por:
Resposta
Portanto:
a) O menor valor de
necessário para o carrinho completar o loop é
.
b) O ângulo
que falta para o carrinho cair no ponto B é:
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(Fig. 5-55). Quais saio (a) o módulo
FIG. 5-55. Prublema 59 .
FIG. 5-55. Prublema 59 .