Um menino está sentado no alto de um monte hemisférico de gelo. Ele recebe um leve empurrão e começa a deslizar sobre o gelo.
a) Mostre que ele é projetado para fora do gelo de um ponto cuja altura é , sendo a
superfície sem atrito; b) Se houver atrito entre o gelo e o menino, ele é projetado para fora de uma altura maior ou menor que a de (a).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema fala sobre um menino que está no topo de um monte hemisférico de gelo e começa a deslizar quando recebe um empurrão. A gente vai trabalhar com conceitos de cinemática e dinâmica (parte da física que estuda o movimento e as forças). Precisamos usar a conservação de energia e a análise das forças envolvidas para descobrir em que altura o menino é projetado para fora do gelo. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos considerar que a superfície do gelo está sem atrito. Isso facilita porque não precisamos nos preocupar com a força de atrito que tentaria parar o menino. Vamos usar a conservação da energia mecânica, que diz que a energia total (cinética + potencial) se mantém constante se não há forças dissipativas (como o atrito).
A energia potencial gravitacional no topo do monte é , onde é a altura. Conforme o menino desce, essa energia potencial se transforma em energia cinética .
A altura inicial do menino é o raio do hemisfério, , então a energia potencial inicial é .
À medida que ele desce até uma altura , a energia potencial é e a energia cinética é .
Pela conservação da energia:
Podemos simplificar dividindo tudo por :

Passo 3

Agora, vamos analisar as forças envolvendo o menino quando ele está em movimento no monte. Para ele ser projetado para fora, a força normal que o gelo exerce sobre ele deve ser zero. A força centrípeta necessária para manter o movimento circular é fornecida apenas pela componente do peso:
Onde é o ângulo que a posição do menino faz com a vertical.
Como , podemos substituir:

Passo 4

Agora temos duas equações:
  1. Da conservação da energia:
  1. Da força centrípeta:
Vamos substituir a segunda na primeira:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos para a parte (b). Desta vez, há atrito entre o gelo e o menino. O atrito sempre age contra o movimento, ou seja, ele tira energia do sistema. Isso significa que além da energia potencial e cinética, precisamos considerar a energia dissipada pelo atrito.
Como há atrito, parte da energia que antes se transformava totalmente em cinética agora é perdida. Isso faz com que a energia cinética no ponto de ejeção seja menor do que no caso sem atrito. Com menos energia cinética, o menino precisa descer menos para que a força centrípeta necessária seja atendida.

Passo 6

Portanto, com atrito, o menino será projetado para fora do gelo em uma altura maior que .

Resposta

b) Com atrito, o menino é projetado para fora do gelo em uma altura maior que .

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