Numa bola de raio a encontra-se carga eletrica Q uniformemente distribuita. Calcule o campo elétrico em todo espaço.

Passo 1

Então, temos uma bola com raio onde a carga elétrica está distribuída de forma uniforme. O nosso objetivo aqui é calcular o campo elétrico em todo o espaço ao redor dessa bola. Para isso, vamos usar o conceito de Lei de Gauss, que é uma ferramenta poderosa na eletrostática para calcular campos elétricos quando a distribuição de carga possui certa simetria.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a Lei de Gauss nos diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela constante elétrica oint E cdot dA = Qdentrovarepsilon0 :
Como a carga está uniformemente distribuída na bola, podemos escolher uma superfície gaussiana que simplifique nossos cálculos, geralmente uma esfera concêntrica com a distribuição de carga.

Passo 3

Vamos dividir o problema em duas partes:
  1. Dentro da bola ( ): Aqui, a carga está distribuída uniformemente, então a carga dentro da superfície gaussiana de raio será proporcional ao volume dessa região.
  2. Fora da bola ( ): Toda a carga está dentro da superfície gaussiana.

Passo 4

Calculando o campo elétrico dentro da bola ( Qdentro = Q ( r^3a^3 ) ):
A carga dentro de uma esfera de raio E cdot 4pi r^2 = Q ( r^3a^3 )varepsilon0 é:
E = Q r4pi varepsilon0 a^3
Aplicando a Lei de Gauss:
Resolvendo para :

Passo 5

Calculando o campo elétrico fora da bola ( E cdot 4pi r^2 = Qvarepsilon0 ):
Neste caso, toda a carga E = Q4pi varepsilon0 r^2 está dentro da superfície gaussiana. Aplicando a Lei de Gauss novamente:
Resolvendo para :

Resposta

O campo elétrico E(r) = Q r4pi varepsilon0 a^3 r, & para r < a Q4pi varepsilon0 r^2 r, & para r >= a em todo o espaço é dado por:

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