Numa bola de raio
encontra-se carga eletrica
uniformemente distribuita. Calcule o campo elétrico em todo espaço.
Passo 1
Então, temos uma bola com raio
onde a carga elétrica
está distribuída de forma uniforme. O nosso objetivo aqui é calcular o campo elétrico em todo o espaço ao redor dessa bola. Para isso, vamos usar o conceito de Lei de Gauss, que é uma ferramenta poderosa na eletrostática para calcular campos elétricos quando a distribuição de carga possui certa simetria.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a Lei de Gauss nos diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela constante elétrica
:
Como a carga está uniformemente distribuída na bola, podemos escolher uma superfície gaussiana que simplifique nossos cálculos, geralmente uma esfera concêntrica com a distribuição de carga.
Passo 3
Vamos dividir o problema em duas partes:
- Dentro da bola (
): Aqui, a carga está distribuída uniformemente, então a carga dentro da superfície gaussiana de raio será proporcional ao volume dessa região. - Fora da bola (
): Toda a carga está dentro da superfície gaussiana.
Passo 4
Calculando o campo elétrico dentro da bola (
):
A carga dentro de uma esfera de raio
é:
Aplicando a Lei de Gauss:
Resolvendo para
:
Passo 5
Calculando o campo elétrico fora da bola (
):
Neste caso, toda a carga
está dentro da superfície gaussiana. Aplicando a Lei de Gauss novamente:
Resolvendo para
:
Resposta
O campo elétrico
em todo o espaço é dado por: