Calcule a carga total e o momento de dipolo elético de um disco fino de raio cuja matade ( e ) possui densidade superficial da carga e a outra metade .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a carga total e o momento de dipolo elétrico de um disco fino de raio . O disco está dividido em duas metades:
  • Metade com densidade superficial de carga (para )
  • Metade com densidade superficial de carga (para )
Vamos usar conhecimentos de eletrostática, especificamente sobre carga superficial e momento de dipolo. Precisaremos integrar as densidades de carga sobre a área do disco para encontrar a carga total e então calcular o momento de dipolo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a carga total . A carga total é a soma das cargas das duas metades do disco.
A carga em cada metade pode ser encontrada integrando a densidade superficial de carga sobre a área correspondente.
A área de uma metade do disco em coordenadas polares é dada por e para uma metade, e para a outra.
Então, para a primeira metade ( ):
E para a segunda metade ( ):

Passo 3

Vamos calcular :
Agora, :

Passo 4

Agora, somamos e para obter a carga total :

Passo 5

Agora vamos calcular o momento de dipolo elétrico . Para um sistema plano como esse, o momento de dipolo pode ser calculado integrando a posição das cargas vezes a densidade de carga.
Em coordenadas polares, o momento de dipolo em e é dado por:
Vamos calcular e separadamente para as duas metades.

Passo 6

Para a primeira metade ( ), calculamos e :
Integrando:
Portanto:

Passo 7

Agora, para a segunda metade ( ):
Integrando:
Portanto:

Passo 8

Somando e :
E somando e :
Portanto, o vetor momento de dipolo é:

Resposta

A carga total do disco é e o momento de dipolo elétrico é .

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