Calcule a carga total e o momento de dipolo elético de um disco fino de raio cuja matade ( e ) possui densidade superficial da carga e a outra metade .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a carga total e o momento de dipolo elétrico de um disco fino de raio . O disco está dividido em duas metades:
Metade com densidade superficial de carga (para )
Metade com densidade superficial de carga (para )
Vamos usar conhecimentos de eletrostática, especificamente sobre carga superficial e momento de dipolo. Precisaremos integrar as densidades de carga sobre a área do disco para encontrar a carga total e então calcular o momento de dipolo.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a carga total . A carga total é a soma das cargas das duas metades do disco.
A carga em cada metade pode ser encontrada integrando a densidade superficial de carga sobre a área correspondente.
A área de uma metade do disco em coordenadas polares é dada por e para uma metade, e para a outra.
Então, para a primeira metade ():
E para a segunda metade ():
Passo 3
Vamos calcular :
Agora, :
Passo 4
Agora, somamos e para obter a carga total :
Passo 5
Agora vamos calcular o momento de dipolo elétrico . Para um sistema plano como esse, o momento de dipolo pode ser calculado integrando a posição das cargas vezes a densidade de carga.
Em coordenadas polares, o momento de dipolo em e é dado por:
Vamos calcular e separadamente para as duas metades.
Passo 6
Para a primeira metade (), calculamos e :
Integrando:
Portanto:
Passo 7
Agora, para a segunda metade ():
Integrando:
Portanto:
Passo 8
Somando e :
E somando e :
Portanto, o vetor momento de dipolo é:
Resposta
A carga total do disco é e o momento de dipolo elétrico é .