Calcule a carga total e o momento de dipolo elético de um disco fino de raio a cuja matade ( r in(0, a) e phi in(0, pi) ) possui densidade superficial da carga sigma=2 sigma0 e a outra metade sigma=-3 sigma0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a carga total e o momento de dipolo elétrico de um disco fino de raio . O disco está dividido em duas metades:
  • Metade com densidade superficial de carga (para )
  • Metade com densidade superficial de carga (para )
Vamos usar conhecimentos de eletrostática, especificamente sobre carga superficial e momento de dipolo. Precisaremos integrar as densidades de carga sobre a área do disco para encontrar a carga total e então calcular o momento de dipolo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a carga total Q1 = integral0^a integral0^pi 2sigma0 , r , dphi , dr . A carga total é a soma das cargas das duas metades do disco.
A carga em cada metade pode ser encontrada integrando a densidade superficial de carga sobre a área correspondente.
A área de uma metade do disco em coordenadas polares é dada por Q2 = integral0^a integralpi^2pi (-3sigma0) , r , dphi , dr e para uma metade, e para a outra.
Então, para a primeira metade ( ):
E para a segunda metade ( ):

Passo 3

Vamos calcular Q1 = 2sigma0 integral0^a r , dr integral0^pi dphi = 2sigma0 [ r^22 |0^a ] [ phi |0^pi ] = 2sigma0 ( a^22 ) (pi) = sigma0 a^2 pi :
Q2 = -3sigma0 integral0^a r , dr integralpi^2pi dphi = -3sigma0 [ r^22 |0^a ] [ phi |pi^2pi ] = -3sigma0 ( a^22 ) (pi) = -32 sigma0 a^2 pi
Agora, :

Passo 4

Agora, somamos Q = Q1 + Q2 = sigma0 a^2 pi - 32 sigma0 a^2 pi = -12 sigma0 a^2 pi e para obter a carga total :

Passo 5

Agora vamos calcular o momento de dipolo elétrico px = integral sigma(r, phi) r cosphi , r , dr , dphi . Para um sistema plano como esse, o momento de dipolo pode ser calculado integrando a posição das cargas vezes a densidade de carga.
Em coordenadas polares, o momento de dipolo em py = integral sigma(r, phi) r sinphi , r , dr , dphi e é dado por:
Vamos calcular e separadamente para as duas metades.

Passo 6

Para a primeira metade ( px1 = 2sigma0 integral0^a r^2 , dr integral0^pi cosphi , dphi ), calculamos py1 = 2sigma0 integral0^a r^2 , dr integral0^pi sinphi , dphi e integral0^pi cosphi , dphi = 0 :
integral0^pi sinphi , dphi = 2
px1 = 0
Integrando:
py1 = 2sigma0 [ r^33 |0^a ] (2) = 43 sigma0 a^3
Portanto:

Passo 7

Agora, para a segunda metade ( px2 = -3sigma0 integral0^a r^2 , dr integralpi^2pi cosphi , dphi ):
py2 = -3sigma0 integral0^a r^2 , dr integralpi^2pi sinphi , dphi
integralpi^2pi cosphi , dphi = 0
Integrando:
integralpi^2pi sinphi , dphi = -2
px2 = 0
Portanto:
py2 = -3sigma0 [ r^33 |0^a ] (-2) = 2sigma0 a^3

Passo 8

Somando px = 0 + 0 = 0 e py = 43 sigma0 a^3 + 2sigma0 a^3 = 103 sigma0 a^3 :
p = px i + py j = 0 i + 103 sigma0 a^3 j
E somando e :
Portanto, o vetor momento de dipolo é:

Resposta

A carga total do disco é e o momento de dipolo elétrico é .

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