Encontre o campo elétrico em todo espaço gerado por uma câmada esferica com raio interno r1 e raio externo r2. A densidade de carga elétrica varia linearmente com a distancia
rho(r)=rho0 rr1
onde rho0= const.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre eletrostática! O enunciado pede para encontrar o campo elétrico gerado por uma câmara esférica com raios internos r1 e externos r2. A densidade de carga elétrica varia linearmente com a distância, dada por rho(r) = rho0 rr1. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss, que relaciona o fluxo elétrico com a carga elétrica dentro de uma superfície fechada.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar três regiões diferentes para encontrar o campo elétrico em cada uma delas:
  1. Dentro do raio interno ( r < r1):
    Aqui, como estamos dentro da cavidade da esfera onde não há carga, a carga elétrica total dentro de uma superfície gaussiana também será zero.
  2. Entre os raios interno e externo ( r1 <= r <= r2):
    Nesta região, a densidade de carga varia com a distância. Precisamos calcular a carga elétrica total dentro dessa superfície gaussiana.
  3. Fora do raio externo ( r > r2):
    Aqui, todas as cargas da esfera contribuem para o campo elétrico.

Passo 3

Vamos começar com a região onde r < r1. Como não há carga dentro dessa superfície, aplicando a Lei de Gauss temos:
oint E cdot dA = Qencvarepsilon0
Como Qenc = 0, então:
E(r) = 0 para r < r1

Passo 4

Agora, para a região r1 <= r <= r2, precisamos calcular a carga elétrica dentro da superfície gaussiana. A densidade de carga é rho(r) = rho0 rr1. A carga total contida daqui até r é obtida integrando a densidade sobre o volume:
Qenc = integralr1^r rho(r') cdot 4pi r'^2 dr'
Substituindo rho(r'):
Qenc = 4pi rho0 1r1 integralr1^r r'^3 dr'
Integrando:
Qenc = 4pi rho0 1r1 [ r'^44 ]r1^r = pi rho0 1r1 ( r^4 - r1^4 )

Passo 5

Aplicando a Lei de Gauss nessa região:
E(r) cdot 4pi r^2 = Qencvarepsilon0
Substituindo Qenc:

Passo 6

Finalmente, para a região r > r2, toda a carga da esfera está dentro da superfície gaussiana. Calculamos a carga total da esfera:
Qtotal = integralr1^r2 rho(r') cdot 4pi r'^2 dr' = pi rho0 1r1 ( r2^4 - r1^4 )
Aplicando novamente a Lei de Gauss:
E(r) cdot 4pi r^2 = Qtotalvarepsilon0
Portanto,

Resposta

O campo elétrico gerado pela câmara esférica é dado por:

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