Encontre o campo elétrico em todo espaço gerado por uma câmada esferica com raio interno
e raio externo
. A densidade de carga elétrica varia linearmente com a distancia
onde
const.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre eletrostática! O enunciado pede para encontrar o campo elétrico gerado por uma câmara esférica com raios internos
e externos
. A densidade de carga elétrica varia linearmente com a distância, dada por
. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss, que relaciona o fluxo elétrico com a carga elétrica dentro de uma superfície fechada.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar três regiões diferentes para encontrar o campo elétrico em cada uma delas:
-
Dentro do raio interno (
):
Aqui, como estamos dentro da cavidade da esfera onde não há carga, a carga elétrica total dentro de uma superfície gaussiana também será zero. -
Entre os raios interno e externo (
):
Nesta região, a densidade de carga varia com a distância. Precisamos calcular a carga elétrica total dentro dessa superfície gaussiana. -
Fora do raio externo (
):
Aqui, todas as cargas da esfera contribuem para o campo elétrico.
Passo 3
Vamos começar com a região onde
. Como não há carga dentro dessa superfície, aplicando a Lei de Gauss temos:
Como
, então:
Passo 4
Agora, para a região
, precisamos calcular a carga elétrica dentro da superfície gaussiana. A densidade de carga é
. A carga total contida daqui até
é obtida integrando a densidade sobre o volume:
Substituindo
:
Integrando:
Passo 5
Aplicando a Lei de Gauss nessa região:
Substituindo
:
Passo 6
Finalmente, para a região
, toda a carga da esfera está dentro da superfície gaussiana. Calculamos a carga total da esfera:
Aplicando novamente a Lei de Gauss:
Portanto,
Resposta
O campo elétrico gerado pela câmara esférica é dado por: