Encontre o campo elétrico em todo espaço gerado por uma câmada esferica com raio interno e raio externo . A densidade de carga elétrica varia linearmente com a distancia
onde const.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre eletrostática! O enunciado pede para encontrar o campo elétrico gerado por uma câmara esférica com raios internos e externos . A densidade de carga elétrica varia linearmente com a distância, dada por . Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss, que relaciona o fluxo elétrico com a carga elétrica dentro de uma superfície fechada.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar três regiões diferentes para encontrar o campo elétrico em cada uma delas:
  1. Dentro do raio interno ( ):
    Aqui, como estamos dentro da cavidade da esfera onde não há carga, a carga elétrica total dentro de uma superfície gaussiana também será zero.
  2. Entre os raios interno e externo ( ):
    Nesta região, a densidade de carga varia com a distância. Precisamos calcular a carga elétrica total dentro dessa superfície gaussiana.
  3. Fora do raio externo ( ):
    Aqui, todas as cargas da esfera contribuem para o campo elétrico.

Passo 3

Vamos começar com a região onde . Como não há carga dentro dessa superfície, aplicando a Lei de Gauss temos:
Como , então:

Passo 4

Agora, para a região , precisamos calcular a carga elétrica dentro da superfície gaussiana. A densidade de carga é . A carga total contida daqui até é obtida integrando a densidade sobre o volume:
Substituindo :
Integrando:

Passo 5

Aplicando a Lei de Gauss nessa região:
Substituindo :

Passo 6

Finalmente, para a região , toda a carga da esfera está dentro da superfície gaussiana. Calculamos a carga total da esfera:
Aplicando novamente a Lei de Gauss:
Portanto,

Resposta

O campo elétrico gerado pela câmara esférica é dado por:

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(ii) Anél circular fino, uniformemente carregado
(iii) Disco circular isolante, uniformemente carregado
(iv) Esfera sólida, isolante, uniformemente carregada
(v) Casca cilíndrica com seção reta circular, infinita, uniformemente carregada A lei de Gauss não vale para alguma dessas distribuições? Justifique.