Considere as seguintes distribuições de carga:
(i) Fio retilíneo fino, infinito, uniformemente carregado
(ii) Anél circular fino, uniformemente carregado
(iii) Disco circular isolante, uniformemente carregado
(iv) Esfera sólida, isolante, uniformemente carregada
(v) Casca cilíndrica com seção reta circular, infinita, uniformemente carregada A lei de Gauss não vale para alguma dessas distribuições? Justifique.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente analisar várias distribuições de carga e ver se a Lei de Gauss funciona pra cada uma delas. A Lei de Gauss é uma ferramenta super útil na eletrostática pra calcular campos elétricos, especialmente quando a distribuição de carga tem uma simetria legal. Vamos precisar entender bem a simetria de cada distribuição e como aplicar a lei.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar rapidinho o que é a Lei de Gauss. Ela diz que o fluxo elétrico que passa por uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela permissividade do vácuo (
). Isso é útil porque, se a distribuição de carga é bem simétrica (como esférica, cilíndrica ou planar), dá pra escolher uma superfície gaussiana que facilita muito os cálculos do campo elétrico.
Passo 3
Agora, vamos olhar cada uma das distribuições listadas:
(i) Fio retilíneo fino, infinito, uniformemente carregado
Essa distribuição tem simetria cilíndrica infinita. Isso significa que o campo elétrico depende só da distância radial do fio e é perpendicular ao fio em todos os pontos. Com essa simetria, dá pra usar a Lei de Gauss facilmente escolhendo uma superfície cilíndrica ao redor do fio.
Passo 4
(ii) Anel circular fino, uniformemente carregado
Aqui a coisa complica um pouco. Um anel circular fino não tem simetria suficiente pra aplicar diretamente a Lei de Gauss de forma geral. A simetria axial ajuda a calcular o campo elétrico ao longo do eixo do anel, mas fora disso, não dá pra usar a lei de maneira simples. Então, nesse caso, a Lei de Gauss não é muito útil.
Passo 5
(iii) Disco circular isolante, uniformemente carregado
Um disco tem simetria planar. Isso permite que a gente aplique a Lei de Gauss pra calcular o campo elétrico em pontos específicos, como ao longo do eixo perpendicular ao disco. Então, para esses pontos com simetria planar, a Lei de Gauss dá, sim, uma boa mão.
Passo 6
(iv) Esfera sólida, isolante, uniformemente carregada
Essa distribuição é clássica! A esfera tem simetria esférica completa, o que facilita muito o uso da Lei de Gauss. Podemos escolher uma superfície gaussiana esférica concêntrica com a esfera carregada, e o campo elétrico vai ter a mesma magnitude em todos os pontos dessa superfície. Fácil de calcular!
Passo 7
(v) Casca cilíndrica com seção reta circular, infinita, uniformemente carregada
Essa casca tem simetria cilíndrica infinita, parecida com o fio retilíneo. Isso deixa a aplicação da Lei de Gauss tranquila, já que podemos usar uma superfície gaussiana cilíndrica para calcular o campo elétrico tanto dentro quanto fora da casca.
Resposta
A Lei de Gauss não vale para a distribuição (ii) Anel circular fino, uniformemente carregado, porque essa configuração não possui simetria suficiente para aplicar a lei de forma geral. As outras distribuições têm simetrias (cilíndrica, planar, esférica) que permitem o uso eficaz da Lei de Gauss para determinar os campos elétricos.
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onde
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Considere um cubo sólido, isolante e uniformemente carregado. Um aluno deseja calcular o campo elétrico produzido pelo cubo em um ponto fora do mesmo e resolve utilizar a lei de Gauss. Para isso, ele traça uma superfície gaussiana cúbica, com centro coincidente com o centro do cubo carregado e faces paralelas ao mesmo. Sobre esse procedimento, responda, justificando todas as respostas:
4a
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4a
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