Uma bola rola na horizontal para fora do alto de uma escadaria com uma velocidade de . Os degraus têm de altura e 20,3 cm de largura. Em que degrau a bola bate primeiro?
41P. Um atacante de futebol americano consegue chutar a bola com uma velocidade inicial de . Dentro de que dois ângulos de elevação ele deve chutar a bola para marcar um gol de um ponto bem na direção do gol, estando afastado 50 m das traves cujo travessão horizontal está a acima do chão? (Se você quiser resolver algebricamente, use para obter uma relação entre e , substitua, e resolva a equação do segundo grau resultante.)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para descobrir quais são os dois ângulos de elevação que um atacante de futebol americano deve usar ao chutar a bola para marcar um gol. Ele dá que a velocidade inicial do chute é de 25 m/s, a distância até as traves é de 50 metros, e a altura do travessão é de 3,44 metros. Para resolver isso, vamos usar conceitos de movimento projetado na física, que envolve analisar o movimento da bola tanto na horizontal quanto na vertical.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que precisamos encontrar. Temos que determinar os ângulos de lançamento (θ) que permitem à bola alcançar a distância horizontal de 50 metros e passar pelo travessão a 3,44 metros de altura. Isso envolve dividir o movimento da bola em duas partes: movimento horizontal e movimento vertical.

Passo 3

Vamos começar com o movimento horizontal. A distância horizontal (x) que a bola percorre é dada por:
Onde:
  • é a velocidade inicial (25 m/s)
  • é o ângulo de lançamento
  • é o tempo de voo até atingir a distância horizontal de 50 metros
Queremos que metros, então:
Podemos isolar o tempo :

Passo 4

Agora, vamos para o movimento vertical. A altura (y) que a bola alcança é dada por:
Onde:
  • é a aceleração da gravidade (aproximadamente 9,81 m/s²)
Queremos que metros quando metros, então substituímos da equação anterior:

Passo 5

Vamos simplificar a equação:
Primeiro, calculemos a primeira parte:
Agora, a segunda parte:
Portanto, a equação fica:

Passo 6

Sabemos que . Vamos usar essa identidade para substituir na equação:
Distribuindo o 19,62:

Passo 7

Vamos reorganizar a equação para formar uma equação quadrática em termos de :
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por -1 para facilitar:

Passo 8

Agora, temos uma equação quadrática na forma , onde:
Vamos resolver essa equação usando a fórmula de Bhaskara:
Substituindo os valores:

Passo 9

Calculando as duas soluções:
  1. Primeira solução (mais alta):
  1. Segunda solução (menos alta):

Resposta

Os dois ângulos de elevação que o atacante deve usar para marcar o gol são aproximadamente 31,0° e 62,5°.

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