Uma bola rola na horizontal para fora do alto de uma escadaria com uma velocidade de 1,52 m / s. Os degraus têm 20,3 cm de altura e 20,3 cm de largura. Em que degrau a bola bate primeiro?
41P. Um atacante de futebol americano consegue chutar a bola com uma velocidade inicial de 25 m / s. Dentro de que dois ângulos de elevação ele deve chutar a bola para marcar um gol de um ponto bem na direção do gol, estando afastado 50 m das traves cujo travessão horizontal está a 3,44 m acima do chão? (Se você quiser resolver algebricamente, use sen^2 theta+ cos ^2 theta=1 para obter uma relação entre tan ^2 theta e 1 / cos ^2 theta, substitua, e resolva a equação do segundo grau resultante.)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para descobrir quais são os dois ângulos de elevação que um atacante de futebol americano deve usar ao chutar a bola para marcar um gol. Ele dá que a velocidade inicial do chute é de 25 m/s, a distância até as traves é de 50 metros, e a altura do travessão é de 3,44 metros. Para resolver isso, vamos usar conceitos de movimento projetado na física, que envolve analisar o movimento da bola tanto na horizontal quanto na vertical.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que precisamos encontrar. Temos que determinar os ângulos de lançamento (θ) que permitem à bola alcançar a distância horizontal de 50 metros e passar pelo travessão a 3,44 metros de altura. Isso envolve dividir o movimento da bola em duas partes: movimento horizontal e movimento vertical.

Passo 3

Vamos começar com o movimento horizontal. A distância horizontal (x) que a bola percorre é dada por:
x = v0 cdot cos(theta) cdot t
Onde:
  • 50 = 25 cdot cos(theta) cdot t é a velocidade inicial (25 m/s)
  • t = 5025 cdot cos(theta) é o ângulo de lançamento
  • t = 2cos(theta) é o tempo de voo até atingir a distância horizontal de 50 metros
Queremos que metros, então:
Podemos isolar o tempo :

Passo 4

Agora, vamos para o movimento vertical. A altura (y) que a bola alcança é dada por:
y = v0 cdot sin(theta) cdot t - 12 g t^2
Onde:
  • 3,44 = 25 cdot sin(theta) cdot ( 2cos(theta) ) - 12 cdot 9,81 cdot ( 2cos(theta) )^2 é a aceleração da gravidade (aproximadamente 9,81 m/s²)
Queremos que metros quando metros, então substituímos da equação anterior:

Passo 5

Vamos simplificar a equação:
Primeiro, calculemos a primeira parte:
25 cdot sin(theta) cdot 2cos(theta) = 50 cdot tan(theta)
Agora, a segunda parte:
12 cdot 9,81 cdot ( 4cos^2(theta) ) = 19,62 cdot 2cos^2(theta) = 19,62 cdot 1cos^2(theta)
Portanto, a equação fica:
3,44 = 50 cdot tan(theta) - 19,62 cdot 1cos^2(theta)

Passo 6

Sabemos que 3,44 = 50 cdot tan(theta) - 19,62 cdot ( tan^2(theta) + 1 ) . Vamos usar essa identidade para substituir 3,44 = 50 cdot tan(theta) - 19,62 cdot tan^2(theta) - 19,62 na equação:
Distribuindo o 19,62:

Passo 7

Vamos reorganizar a equação para formar uma equação quadrática em termos de -19,62 cdot tan^2(theta) + 50 cdot tan(theta) - 19,62 - 3,44 = 0 :
-19,62 cdot tan^2(theta) + 50 cdot tan(theta) - 23,06 = 0
Simplificando:
19,62 cdot tan^2(theta) - 50 cdot tan(theta) + 23,06 = 0
Multiplicando ambos os lados por -1 para facilitar:

Passo 8

Agora, temos uma equação quadrática na forma tan(theta) = -b pm raizb^2 - 4ac2a , onde:
  • tan(theta) = 50 pm raiz(-50)^2 - 4 cdot 19,62 cdot 23,062 cdot 19,62
  • tan(theta) = 50 pm raiz2500 - 1803,1739,24
  • tan(theta) = 50 pm raiz696,8339,24
Vamos resolver essa equação usando a fórmula de Bhaskara:
tan(theta) = 50 pm 26,4039,24
Substituindo os valores:

Passo 9

Calculando as duas soluções:
  1. Primeira solução (mais alta):
tan(theta) = 50 + 26,4039,24 = 76,4039,24 approx 1,947
theta = arctan(1,947) approx 62,5^circ
  1. Segunda solução (menos alta):
tan(theta) = 50 - 26,4039,24 = 23,6039,24 approx 0,601
theta = arctan(0,601) approx 31,0^circ

Resposta

Os dois ângulos de elevação que o atacante deve usar para marcar o gol são aproximadamente 31,0° e 62,5°.

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