Um canhão está colocado na base de um morro cuja inclinação em relação à horizontal é dado pelo ângulo
. Se o canhão faz um ângulo
com a horizontal e dispara um projétil com velocidade
, determinar a distância, ao longo do morro, onde cai o projétil.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um canhão posicionado na base de um morro inclinado com um ângulo
em relação à horizontal. O canhão está inclinado em um ângulo
e dispara um projétil com uma velocidade inicial
. Precisamos descobrir qual será a distância ao longo do morro onde o projétil vai cair. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática de movimentos oblíquos e considerar a inclinação do terreno.
Passo 2
Vamos começar escolhendo um sistema de coordenadas que facilite nossos cálculos. Imagine que o eixo
esteja alinhado com a inclinação do morro (ao longo da rampa) e o eixo
seja perpendicular a ele. Isso ajuda a simplificar as equações, já que a inclinação do morro está incorporada no nosso sistema de referência.
Passo 3
Agora, precisamos decompor a velocidade inicial do projétil nos componentes
e
. Para isso, usamos funções trigonométricas considerando a diferença de ângulo entre o disparo e a inclinação do morro:
Aqui,
é a componente da velocidade na direção do morro, e
é a componente perpendicular ao morro.
Passo 4
Em seguida, vamos considerar as acelerações que atuam no projétil. A única força que atua verticalmente é a gravidade, que também precisamos decompor nas direções do nosso sistema de coordenadas:
O sinal negativo indica que a aceleração está na direção oposta ao movimento inicial.
Passo 5
Agora, precisamos encontrar o tempo total de voo do projétil até que ele atinja o solo do morro. Para isso, usamos a equação da posição no eixo
:
Como o projétil cai no morro, a posição final
será zero:
Podemos resolver essa equação para
:
Ignorando a solução trivial
, temos:
Passo 6
Com o tempo de voo encontrado, podemos agora calcular a distância ao longo do morro onde o projétil cai usando a equação da posição no eixo
:
Substituindo
e
:
Simplificando a expressão:
Fatorando
:
Resposta
A distância ao longo do morro onde o projétil cai é
onde:
-
é a velocidade inicial do projétil, -
é o ângulo de disparo do canhão em relação à horizontal, -
é o ângulo de inclinação do morro, -
é a aceleração da gravidade.
Essa expressão te dá a distância ao longo do morro onde o projétil irá aterrissar.