Um canhão está colocado na base de um morro cuja inclinação em relação à horizontal é dado pelo ângulo alpha. Se o canhão faz um ângulo theta com a horizontal e dispara um projétil com velocidade v0, determinar a distância, ao longo do morro, onde cai o projétil.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um canhão posicionado na base de um morro inclinado com um ângulo em relação à horizontal. O canhão está inclinado em um ângulo e dispara um projétil com uma velocidade inicial . Precisamos descobrir qual será a distância ao longo do morro onde o projétil vai cair. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática de movimentos oblíquos e considerar a inclinação do terreno.

Passo 2

Vamos começar escolhendo um sistema de coordenadas que facilite nossos cálculos. Imagine que o eixo esteja alinhado com a inclinação do morro (ao longo da rampa) e o eixo seja perpendicular a ele. Isso ajuda a simplificar as equações, já que a inclinação do morro está incorporada no nosso sistema de referência.

Passo 3

Agora, precisamos decompor a velocidade inicial do projétil nos componentes v0x = v0 cos(theta - alpha) e v0y = v0 sin(theta - alpha) . Para isso, usamos funções trigonométricas considerando a diferença de ângulo entre o disparo e a inclinação do morro:
Aqui, é a componente da velocidade na direção do morro, e é a componente perpendicular ao morro.

Passo 4

Em seguida, vamos considerar as acelerações que atuam no projétil. A única força que atua verticalmente é a gravidade, que também precisamos decompor nas direções do nosso sistema de coordenadas:
ax = -g sin(alpha)
ay = -g cos(alpha)
O sinal negativo indica que a aceleração está na direção oposta ao movimento inicial.

Passo 5

Agora, precisamos encontrar o tempo total de voo do projétil até que ele atinja o solo do morro. Para isso, usamos a equação da posição no eixo y = v0y t + 12 ay t^2 :
0 = v0 sin(theta - alpha) t - 12 g cos(alpha) t^2
Como o projétil cai no morro, a posição final t ( v0 sin(theta - alpha) - 12 g cos(alpha) t ) = 0 será zero:
t = 2 v0 sin(theta - alpha)g cos(alpha)
Podemos resolver essa equação para :
Ignorando a solução trivial , temos:

Passo 6

Com o tempo de voo encontrado, podemos agora calcular a distância ao longo do morro onde o projétil cai usando a equação da posição no eixo x = v0x t + 12 ax t^2 :
x = v0 cos(theta - alpha) ( 2 v0 sin(theta - alpha)g cos(alpha) ) + 12 (-g sin(alpha)) ( 2 v0 sin(theta - alpha)g cos(alpha) )^2
Substituindo x = 2 v0^2 sin(theta - alpha) cos(theta - alpha)g cos(alpha) - 2 v0^2 sin^2(theta - alpha) sin(alpha)g cos^2(alpha) e x = 2 v0^2 sin(theta - alpha)g cos^2(alpha) ( cos(theta - alpha) - sin(theta - alpha) sin(alpha) ) :
Simplificando a expressão:
Fatorando :

Resposta

A distância ao longo do morro onde o projétil cai é
x = 2 v0^2 sin(theta - alpha)g cos^2(alpha) ( cos(theta - alpha) - sin(theta - alpha) sin(alpha) )
onde:
  • é a velocidade inicial do projétil,
  • é o ângulo de disparo do canhão em relação à horizontal,
  • é o ângulo de inclinação do morro,
  • é a aceleração da gravidade.
Essa expressão te dá a distância ao longo do morro onde o projétil irá aterrissar.

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