Pretende-se desenhar uma arma, tal que apontando em linha reta para alvos de até 5 cms de comprimento ao longo da vertical e, localizados até uma distância horizontal de 2 mil metros o alvo seja atingido. Desconsiderando os efeitos do ar, determinar a velocidade mínima que deve ter a bala quando sai do cano da arma.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar a velocidade mínima que uma bala deve ter ao sair do cano de uma arma, de modo que ela consiga atingir um alvo que pode estar até 5 cm de altura e localizado a até 2 mil metros de distância horizontal. Vamos usar conceitos de cinemática, especificamente o movimento de projéteis, e vamos precisar aplicar fórmulas para calcular a trajetória da bala.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que está acontecendo. Quando a bala é disparada, ela segue uma trajetória curva devido à gravidade. A gente precisa garantir que, ao alcançar os 2000 metros de alcance horizontal, a bala esteja dentro dos 5 cm de altura do alvo. Isso significa que a variação vertical da trajetória nesse ponto não pode exceder 2,5 cm acima ou abaixo do alvo.

Passo 3

Vamos usar as equações do movimento de projéteis. As duas principais são:
  • Movimento horizontal:
    x = v cdot cos(theta) cdot t
  • Movimento vertical:
    y = v cdot sin(theta) cdot t - 12 cdot g cdot t^2
Aqui,
  • é a distância horizontal (2000 m),
  • é a variação vertical (2,5 cm = 0,025 m),
  • é a velocidade inicial que queremos encontrar,
  • é o ângulo de lançamento,
  • é a aceleração da gravidade (aproximadamente ²),
  • é o tempo de voo.

Passo 4

Como a bala precisa atingir exatamente os 2000 metros, vamos assumir que ela é disparada em um ângulo que minimize a velocidade necessária. O ângulo ideal para alcançar a maior distância horizontal com o mínimo de velocidade é de 45°, mas vamos verificar se isso atende à restrição vertical.
Vamos calcular o tempo de voo usando a equação do movimento horizontal:
t = xv cdot cos(theta)
Substituindo cos(45°) = raiz22 :
t = 2000v cdot raiz22 = 2000 cdot 2v cdot raiz2 = 4000v cdot raiz2
Então,

Passo 5

Agora, vamos usar a equação do movimento vertical para garantir que a variação não ultrapasse 0,025 m:
y = v cdot sin(45°) cdot t - 12 cdot g cdot t^2
Sabendo que y = v cdot raiz22 cdot t - 12 cdot 9,81 cdot t^2 :
y = v cdot raiz22 cdot 4000v cdot raiz2 - 12 cdot 9,81 cdot ( 4000v cdot raiz2 )^2
Substituindo y = 2000 - 12 cdot 9,81 cdot 16 times 10^62 v^2 da Passo 4:
y = 2000 - 9,81 times 8 times 10^62 v^2
Simplificando:
2000 - 9,81 times 8 times 10^62 v^2 <= 0,025
Como queremos que m:

Passo 6

Agora, vamos resolver para 2000 - 0,025 <= 9,81 times 8 times 10^62 v^2 :
1999,975 <= 78,48 times 10^6v^2
v^2 <= 78,48 times 10^61999,975
v^2 <= 39,24 times 10^3
v <= raiz39,24 times 10^3
v <= 198,1 , m/s

Resposta

A velocidade mínima que a bala deve ter ao sair do cano da arma é aproximadamente 198,1 metros por segundo.

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