Uma bola de tintura é lançada para o alto. Se a altura da bola em função do tempo é dada por h(t) = -4t^2 + 8t + 10. Determine a altura máxima da bola e em que tempo isso acontece.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem o seguinte problema: uma bola de tintura é lançada para cima e a altura dela em função do tempo é dada por . Nosso objetivo aqui é descobrir qual foi a altura máxima que a bola alcançou e em que momento isso aconteceu. Para resolver isso, vamos trabalhar com funções quadráticas e entender como encontrar o ponto mais alto desse tipo de gráfico.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que a função é uma parábola que abre para baixo porque o coeficiente de é negativo ( ). Isso significa que existe um ponto mais alto nessa curva, que é o máximo que a bola alcança.

Passo 3

Para achar esse ponto máximo, vamos usar a fórmula do vértice de uma parábola. A forma geral da parábola é t = -b2a . O tempo em que ocorre o vértice (o ponto máximo) é dado por:
No nosso caso, e .

Passo 4

Vamos substituir os valores de t = -82 times (-4) = -8-8 = 1 e na fórmula:
Então, a altura máxima ocorre no tempo segundo.

Passo 5

Agora que sabemos que o tempo para a altura máxima é 1 segundo, vamos descobrir qual é essa altura. Para isso, substituímos h(1) = -4(1)^2 + 8(1) + 10 = -4 + 8 + 10 = 14 na função :
Portanto, a altura máxima que a bola atinge é de 14 metros.

Resposta

A altura máxima da bola é de 14 metros e isso acontece 1 segundo após o lançamento.

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