Uma bolha se ar de 10 cm^3 de volume está no fundo de um lago de profundidade h e onde a temperatura é de 7^circ C A bolha sobe até a superficie, que está a uma temperatura de 17^circ C, e seu volume passa a ser de 20 cm^3 pouco antes de atingir a superficie. Admita que a temperatura da bolha seja a mesma da água que a circunda. Calcule a profundidade do lago.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um exercício de Física que envolve impactos de pressão e temperatura sobre uma bolha de ar no fundo de um lago. A gente vai precisar utilizar a lei dos gases ideais, que relaciona pressão, volume e temperatura. Então, vamos usar essa lei para descobrir qual é a profundidade do lago.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os dados que temos:
  • Volume inicial da bolha no fundo:
  • Temperatura no fundo:
  • Volume final da bolha na superfície:
  • Temperatura na superfície:

Passo 3

Vamos converter as temperaturas de Celsius para Kelvin, porque nas equações de gás a temperatura precisa estar nessa unidade:
T(K) = T(°C) + 273
Então:
T1 = 7 + 273 = 280 , K
T2 = 17 + 273 = 290 , K

Passo 4

Agora, vamos lembrar da lei dos gases ideais na forma combinada:
P1 V1T1 = P2 V2T2
Aqui, é a pressão, é o volume e é a temperatura.

Passo 5

Precisamos expressar as pressões P1 = Patm + rho g h e P2 = Patm . No fundo do lago, a pressão é a soma da pressão atmosférica e a pressão da água devido à profundidade :
Na superfície, a pressão é apenas a atmosférica:
Onde:
  • é a densidade da água ( )
  • é a aceleração da gravidade ( )

Passo 6

Substituindo (Patm + rho g h) V1T1 = Patm V2T2 e na equação da lei dos gases:
Queremos encontrar , a profundidade do lago.

Passo 7

Vamos isolar (Patm + rho g h) = Patm V2 T1V1 T2 na equação:
rho g h = Patm V2 T1V1 T2 - Patm
h = Patm V2 T1V1 T2 - Patm rho g
h = Patm ( V2 T1V1 T2 - 1 ) rho g

Passo 8

Vamos calcular a razão dos volumes e temperaturas:
V2 T1V1 T2 = 20 times 28010 times 290 = 56002900 approx 1,931
Então:
h = Patm (1,931 - 1)1000 times 9,8
h = Patm times 0,9319800

Passo 9

Assumindo que a pressão atmosférica h = 1,013 times 10^5 times 0,9319800 é h approx 943,7 times 10^59800 :
h approx 9,63 , m

Resposta

A profundidade do lago é aproximadamente .

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