O braço robótico está se elevando e prolongando simultaneamente. Em um determinado instante, theta=30^circ, dottheta=40 graus / s, ddottheta= 120 graus / s^2, l=0,5 m, dotl=0,4 m / s, e ddotl=-0,3 m / s^2. Calcule as forças radial e transversal Fr e Ftheta que o braço deve exercer sobre a peça segurada P, a qual possui uma massa de 1,2 kg. Compare com o caso de equilíbrio estático na mesma posição.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um braço robótico que está girando e alongando ao mesmo tempo. Precisamos calcular as forças radial ( Fr) e transversal ( Ftheta) que o braço está exercendo sobre uma peça com massa de 1,2 kg. Além disso, vamos comparar isso com o caso em que o braço está parado, ou seja, em equilíbrio estático, na mesma posição.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de dinâmica rotacional e forças centrípetas e tangenciais. Também vamos considerar a aceleração linear devido à mudança no comprimento do braço.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as forças que atuam na peça quando o braço está se movendo. Temos duas componentes principais da força:
  1. Força Radial ( Fr): Está relacionada à aceleração centrípeta necessária para manter a peça em movimento circular.
  2. Força Transversal ( Ftheta): Está relacionada à aceleração tangencial devido à mudança na velocidade angular.
Vamos começar calculando cada uma dessas forças.

Passo 3

Calculando a Força Radial ( Fr):
A força radial é dada pela soma da força centrípeta, que depende da velocidade angular e da aceleração linear devido à mudança no comprimento do braço. A fórmula é:
Fr = m ( l dottheta^2 + ddotl )
Onde:
  • m = 1,2, kg (massa da peça)
  • l = 0,5, m (comprimento do braço)
  • dottheta = 40, graus/s (velocidade angular)
  • ddotl = -0,3, m/s^2 (aceleração do comprimento)
Nota: Precisamos converter dottheta de graus por segundo para radianos por segundo, já que as fórmulas em física usam radianos.
dottheta = 40, graus/s times pi180 = 40pi180 approx 0,698, rad/s
Agora, substituindo os valores na fórmula:
Fr = 1,2 ( 0,5 times (0,698)^2 + (-0,3) )
Fr = 1,2 ( 0,5 times 0,487 + (-0,3) )
Fr = 1,2 ( 0,2435 - 0,3 ) = 1,2 times (-0,0565) approx -0,0678, N
Interpretação: O valor negativo indica que a força radial está atuando na direção oposta à definição positiva, mas para o nosso propósito, vamos considerar o módulo da força.
Fr approx 0,068, N

Passo 4

Calculando a Força Transversal ( Ftheta):
A força transversal está relacionada à aceleração angular e é calculada pela fórmula:
Ftheta = m ( l ddottheta + 2 dotl dottheta )
Onde:
  • ddottheta = 120, graus/s^2
  • dotl = 0,4, m/s
Primeiro, vamos converter ddottheta para radianos por segundo ao quadrado:
ddottheta = 120, graus/s^2 times pi180 = 120pi180 approx 2,094, rad/s^2
Agora, substituindo os valores na fórmula:
Ftheta = 1,2 ( 0,5 times 2,094 + 2 times 0,4 times 0,698 )
Ftheta = 1,2 ( 1,047 + 0,559 ) = 1,2 times 1,606 approx 1,927, N

Passo 5

Comparando com o Equilíbrio Estático:
No caso de equilíbrio estático, o braço não está se movendo, então as velocidades e acelerações angulares são zero. As únicas forças atuantes são a força que o braço exerce para segurar a peça e o peso da peça devido à gravidade.
A força radial e transversal no equilíbrio seriam:
Frestático = 0 á
Fthetaestático = m cdot g cdot sin(theta) á
Onde g = 9,81, m/s^2 e theta = 30^circ.
Calculando:
Fthetaestático = 1,2 times 9,81 times sin(30^circ) = 1,2 times 9,81 times 0,5 approx 5,886, N á

Resposta

As forças que o braço robótico exerce sobre a peça são aproximadamente Fr = 0,068, N na direção radial e Ftheta = 1,927, N na direção transversal. Em comparação, no caso de equilíbrio estático na mesma posição, a força transversal seria de aproximadamente 5,886, N. Isso mostra que, durante o movimento, as forças necessárias são menores do que as necessárias para simplesmente segurar a peça parada.

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