Uma bolha de ar esférica em um lago se expande conforme sobe lentamente à superfície. No ponto em que começa a subir, a pressão é de
, a temperatura da água é de
e o raio da bolha é de
. Na superfície, a pressão é de
e a temperatura da água é de
. (a) Qual é a relação entre o volume final e o inicial da bolha em expansão? (b) Qual é a variação na energia térmica dabolha?
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma bolha de ar esférica que está subindo lentamente em um lago. No ponto de partida, a pressão é de 2,00 atm, a temperatura da água é de 10,0°C, e o raio da bolha é de 5,00 × 10⁻³ m. Quando a bolha chega à superfície, a pressão diminui para 1,00 atm e a temperatura da água aumenta para 20,0°C.
Queremos resolver duas partes:
(a) Encontrar a relação entre o volume final e o inicial da bolha durante a expansão.
(b) Determinar a variação na energia térmica (ΔU) da bolha.
Para resolver isso, vamos precisar dos conceitos de Lei dos Gases Ideais e Termodinâmica. Vamos usar fórmulas matemáticas representadas em LaTeX para facilitar a compreensão.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a relação entre os volumes final e inicial da bolha. Para isso, vamos usar a Lei dos Gases Ideais combinada, que relaciona pressão, volume e temperatura de um gás:
Onde:
-
e são as pressões inicial e final. -
e são os volumes inicial e final. -
e são as temperaturas inicial e final em Kelvin.
Passo 3
Primeiro, precisamos converter as temperaturas de Celsius para Kelvin:
Passo 4
Agora, rearranjamos a fórmula da Lei dos Gases Ideais para encontrar a relação entre os volumes:
Substituindo os valores:
Passo 5
Vamos calcular agora:
Isso significa que o volume final é aproximadamente 2,07 vezes o volume inicial.
Passo 6
Agora, vamos para a parte (b) do exercício: calcular a variação na energia térmica (ΔU) da bolha. Para isso, usamos a fórmula da primeira lei da termodinâmica:
Onde:
-
é o calor trocado. -
é o trabalho realizado.
Assumindo que não há transferência de calor (
) e que a expansão é isotérmica (temperatura constante), simplificamos para:
No entanto, nesse caso, a temperatura muda, então precisamos considerar a capacidade térmica do gás.
Utilizamos a fórmula:
Onde:
-
é o número de mols. -
é a capacidade térmica molar a volume constante. -
Passo 7
Primeiro, calculamos o número de mols (
) usando a Lei dos Gases Ideais:
Rearranjando para encontrar
:
Vamos usar os valores iniciais para encontrar
:
-
= = -
-
-
Substituindo:
Passo 8
Agora, considerando a variação de temperatura:
Assumindo que o ar é diatômico, a capacidade térmica molar a volume constante (
) é aproximadamente
:
Passo 9
Finalmente, calculamos a variação na energia térmica:
Resposta
(a) A relação entre o volume final e o inicial da bolha é aproximadamente V₂/V₁ ≈ 2,07.
(b) A variação na energia térmica da bolha é de aproximadamente 10,39 J.