Uma bolha de ar esférica em um lago se expande conforme sobe lentamente à superfície. No ponto em que começa a subir, a pressão é de 2,00 atm, a temperatura da água é de 10,0^circ C e o raio da bolha é de 5,00 times 10^-3 m. Na superfície, a pressão é de 1,00 atm e a temperatura da água é de 20,0^circ C. (a) Qual é a relação entre o volume final e o inicial da bolha em expansão? (b) Qual é a variação na energia térmica dabolha?

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma bolha de ar esférica que está subindo lentamente em um lago. No ponto de partida, a pressão é de 2,00 atm, a temperatura da água é de 10,0°C, e o raio da bolha é de 5,00 × 10⁻³ m. Quando a bolha chega à superfície, a pressão diminui para 1,00 atm e a temperatura da água aumenta para 20,0°C.
Queremos resolver duas partes:
(a) Encontrar a relação entre o volume final e o inicial da bolha durante a expansão.
(b) Determinar a variação na energia térmica (ΔU) da bolha.
Para resolver isso, vamos precisar dos conceitos de Lei dos Gases Ideais e Termodinâmica. Vamos usar fórmulas matemáticas representadas em LaTeX para facilitar a compreensão.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a relação entre os volumes final e inicial da bolha. Para isso, vamos usar a Lei dos Gases Ideais combinada, que relaciona pressão, volume e temperatura de um gás:
P1 V1T1 = P2 V2T2
Onde:
  • e são as pressões inicial e final.
  • e são os volumes inicial e final.
  • e são as temperaturas inicial e final em Kelvin.

Passo 3

Primeiro, precisamos converter as temperaturas de Celsius para Kelvin:
T(K) = T(°C) + 273,15
T1 = 10,0 + 273,15 = 283,15, K
T2 = 20,0 + 273,15 = 293,15, K

Passo 4

Agora, rearranjamos a fórmula da Lei dos Gases Ideais para encontrar a relação entre os volumes:
V2V1 = P1 cdot T2P2 cdot T1
Substituindo os valores:
V2V1 = 2,00, atm times 293,15, K1,00, atm times 283,15, K

Passo 5

Vamos calcular agora:
V2V1 = 586,30283,15 approx 2,07
Isso significa que o volume final é aproximadamente 2,07 vezes o volume inicial.

Passo 6

Agora, vamos para a parte (b) do exercício: calcular a variação na energia térmica (ΔU) da bolha. Para isso, usamos a fórmula da primeira lei da termodinâmica:
De
Onde:
  • De é o calor trocado.
  • De é o trabalho realizado.
Assumindo que não há transferência de calor ( ) e que a expansão é isotérmica (temperatura constante), simplificamos para:
No entanto, nesse caso, a temperatura muda, então precisamos considerar a capacidade térmica do gás.
Utilizamos a fórmula:
Onde:
  • é o número de mols.
  • é a capacidade térmica molar a volume constante.

Passo 7

Primeiro, calculamos o número de mols ( PV = nRT ) usando a Lei dos Gases Ideais:
n = PVRT
Rearranjando para encontrar n = 202650, Pa times 5,24 times 10^-7, m^38,314, J/(mol, K) times 283,15, K approx 0,050, mol :
Vamos usar os valores iniciais para encontrar :
  • = =
Substituindo:

Passo 8

Agora, considerando a variação de temperatura:
De
Assumindo que o ar é diatômico, a capacidade térmica molar a volume constante ( Cv = 52 times 8,314, J/(mol, K) approx 20,785, J/(mol, K) ) é aproximadamente :

Passo 9

Finalmente, calculamos a variação na energia térmica:
De

Resposta

(a) A relação entre o volume final e o inicial da bolha é aproximadamente V₂/V₁ ≈ 2,07.
(b) A variação na energia térmica da bolha é de aproximadamente 10,39 J.

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