Considere os pontos
. Calculando apenas distâncias entre pontos do plano responda:
Quais dos pontos
e
se encontram na região delimitada pelo círculo
que passa pelo ponto
e tem centro no ponto
?
Quais dos pontos
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem cinco pontos no plano: $ A=(1,0) $, $ B=(3,2) $, $ C=(4,4) $, $ D=(-2,3) $ e $ E=(-3,-5) $. A questão quer saber quais dos pontos $ C $, $ D $ e $ E $ estão dentro do círculo $ \alpha $. Esse círculo passa pelo ponto $ A $ e tem o centro no ponto $ B $. Para resolver isso, vamos usar o conteúdo de geometria sobre círculos e a fórmula de distância para calcular as distâncias entre os pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir o raio do círculo $ \alpha $. Como o círculo passa pelo ponto $ A $ e tem o centro em $ B $, o raio é a distância entre $ A $ e $ B $.
A fórmula para a distância entre dois pontos $ (x_1, y_1) $ e $ (x_2, y_2) $ é:
Aplicando isso para $ A=(1,0) $ e $ B=(3,2) $:
Então, o raio do círculo $ \alpha $ é aproximadamente 2,828 unidades.
Passo 3
Agora, vamos calcular a distância do ponto $ C=(4,4) $ até o centro $ B=(3,2) $:
Como $ 2,236 < 2,828 $, o ponto $ C $ está dentro do círculo $ \alpha $.
Passo 4
Agora, a distância do ponto $ D=(-2,3) $ até $ B=(3,2) $:
Como $ 5,099 > 2,828 $, o ponto $ D $ está fora do círculo $ \alpha $.
Passo 5
Por fim, vamos calcular a distância do ponto $ E=(-3,-5) $ até $ B=(3,2) $:
Como $ 9,220 > 2,828 $, o ponto $ E $ está fora do círculo $ \alpha $.
Resposta
Apenas o ponto $ C $ está na região delimitada pelo círculo $ \alpha $.