Um gás monoatômico ideal se expande isentropicamente de uma pressão inicial Pi e volume inicial Vi para uma pressão final Pf=Pi / 20 e volume final Vf=6 Vi. Qual é o trabalho realizado pelo gás, expresso em termos de Pi e Vi ? [Dica: use a Eq. 20.8 do livro texto (mas lembre-se de que você quer trabalho feito pelo gás, então observe seus sinais) e o fato de que P V^gamma= constante para uma expansão isentrópica (Eq. 20.46 do livro texto), com gamma=53 para um gás monoatômico ideal.]

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um gás monoatômico ideal que se expande de forma isentrópica. Isso significa que o processo acontece sem troca de calor e de forma reversível, mantendo a entropia constante. A gente precisa calcular o trabalho que esse gás realiza durante essa expansão, usando as pressões e volumes iniciais e finais fornecidos. Para resolver isso, vamos usar duas equações principais:
  1. Equação Isentrópica: $ P V^{\gamma} = constante $, onde $ \gamma = \frac{5}{3} $ para um gás monoatômico ideal.
  2. Fórmula do Trabalho em uma Expansão Isentrópica: $ W = \frac{P_i V_i - P_f V_f}{\gamma - 1} $.
Vamos precisar entender essas equações e aplicá-las passo a passo para encontrar o trabalho realizado pelo gás.

Passo 2

Primeiro, vamos usar a Equação Isentrópica para confirmar a relação entre as pressões e volumes inicial e final. A equação é:
Pi Vi^gamma = Pf Vf^gamma
Sabemos que $ P_f = \frac{P_i}{20} $ e $ V_f = 6 V_i $. Vamos substituir esses valores na equação:
Pf = Pi20
Isso nos ajuda a verificar a consistência dos dados fornecidos, garantindo que o processo é realmente isentrópico.

Passo 3

Agora, vamos calcular o trabalho realizado pelo gás durante essa expansão. A Fórmula do Trabalho Isentrópico é:
W = Pi Vi - Pf Vfgamma - 1
Vamos substituir os valores que conhecemos:
  • $ P_i $ é a pressão inicial.
  • $ V_i $ é o volume inicial.
  • $ P_f = \frac{P_i}{20} $
  • $ V_f = 6 V_i $
  • $ \gamma = \frac{5}{3} $
Substituindo na fórmula:
Pi

Passo 4

Vamos simplificar a expressão passo a passo. Primeiro, calculamos o numerador:
Pi Vi - ( Pi20 times 6 Vi ) = Pi Vi - 6 Pi Vi20 = Pi Vi - 3 Pi Vi10 = 10 Pi Vi - 3 Pi Vi10 = 7 Pi Vi10
Agora, o denominador:
gamma - 1 = 53 - 1 = 23
Substituindo de volta na fórmula do trabalho:
W = 7 Pi Vi1023 = 7 Pi Vi10 times 32 = 21 Pi Vi20

Resposta

O trabalho realizado pelo gás durante a expansão isentrópica é:
W = 2120 Pi Vi

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