Um gás monoatômico ideal se expande isentropicamente de uma pressão inicial
e volume inicial
para uma pressão final
e volume final
. Qual é o trabalho realizado pelo gás, expresso em termos de
e
? [Dica: use a Eq. 20.8 do livro texto (mas lembre-se de que você quer trabalho feito pelo gás, então observe seus sinais) e o fato de que
constante para uma expansão isentrópica (Eq. 20.46 do livro texto), com
para um gás monoatômico ideal.]
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um gás monoatômico ideal que se expande de forma isentrópica. Isso significa que o processo acontece sem troca de calor e de forma reversível, mantendo a entropia constante. A gente precisa calcular o trabalho que esse gás realiza durante essa expansão, usando as pressões e volumes iniciais e finais fornecidos. Para resolver isso, vamos usar duas equações principais:
- Equação Isentrópica: $ P V^{\gamma} = constante $, onde $ \gamma = \frac{5}{3} $ para um gás monoatômico ideal.
- Fórmula do Trabalho em uma Expansão Isentrópica: $ W = \frac{P_i V_i - P_f V_f}{\gamma - 1} $.
Vamos precisar entender essas equações e aplicá-las passo a passo para encontrar o trabalho realizado pelo gás.
Passo 2
Primeiro, vamos usar a Equação Isentrópica para confirmar a relação entre as pressões e volumes inicial e final. A equação é:
Sabemos que $ P_f = \frac{P_i}{20} $ e $ V_f = 6 V_i $. Vamos substituir esses valores na equação:
Isso nos ajuda a verificar a consistência dos dados fornecidos, garantindo que o processo é realmente isentrópico.
Passo 3
Agora, vamos calcular o trabalho realizado pelo gás durante essa expansão. A Fórmula do Trabalho Isentrópico é:
Vamos substituir os valores que conhecemos:
- $ P_i $ é a pressão inicial.
- $ V_i $ é o volume inicial.
- $ P_f = \frac{P_i}{20} $
- $ V_f = 6 V_i $
- $ \gamma = \frac{5}{3} $
Substituindo na fórmula:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão passo a passo. Primeiro, calculamos o numerador:
Agora, o denominador:
Substituindo de volta na fórmula do trabalho:
Resposta
O trabalho realizado pelo gás durante a expansão isentrópica é: