Uma bolha de ar esférica com raio de 2,0 cm é liberada 30 m abaixo da superfície de um lago em T=280 K. Qual é o seu volume quando a bolha atinge a superfície do lago que está a T= 300 K supondo que está em equilíbrio térmico o tempo todo? Considere que o ar pode ser tratado como um gás ideal e lgnore o tamanho da bolha comparada com outras dimensões como 30m.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo e quais conceitos vamos usar. Temos uma bolha de ar esférica com raio inicial de 2,0 cm, que está a 30 metros abaixo da superfície de um lago, na temperatura T1 = 280 K. Quando essa bolha sobe até a superfície, a temperatura aumenta para T2 = 300 K. Queremos descobrir qual será o volume da bolha na superfície, assumindo que o ar dentro dela se comporta como um gás ideal e que a bolha está sempre em equilíbrio térmico durante a subida.
Para resolver isso, vamos precisar usar a Lei dos Gases Ideais, que relaciona pressão, volume e temperatura de um gás. Também precisamos considerar como a pressão muda com a profundidade na água.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a pressão inicial ( P1) que a bolha sente a 30 metros de profundidade. A pressão total nessa profundidade é a soma da pressão atmosférica ( Patm) mais a pressão causada pela coluna de água acima da bolha.
A pressão devido à água é dada por:
Págua = rho g h á
Onde:
  • rho é a densidade da água (aproximadamente 1000 kg/m^3),
  • g é a aceleração da gravidade ( 9,81 m/s^2),
  • h é a profundidade (30 m).
Então:
Págua = 1000 times 9,81 times 30 = 294,300 Pa á
A pressão atmosférica ( Patm) é aproximadamente 101,325 Pa. Portanto, a pressão total inicial é:
P1 = Patm + Págua = 101,325 + 294,300 = 395,625 Pa á

Passo 3

Agora, vamos calcular o volume inicial ( V1) da bolha usando o raio fornecido. A bolha é esférica, então o volume de uma esfera é dado por:
V = 43 pi r^3
Onde r é o raio.
Convertendo o raio para metros:
r = 2,0 cm = 0,02 m
Então:
V1 = 43 pi (0,02)^3 approx 43 pi times 8 times 10^-6 approx 3,35 times 10^-5 m^3

Passo 4

Quando a bolha sobe até a superfície, a pressão ( P2) muda para a pressão atmosférica, que é 101,325 Pa. Além disso, a temperatura aumenta para T2 = 300 K. Precisamos relacionar essas duas condições para descobrir o novo volume ( V2) da bolha.

Passo 5

Vamos usar a Lei dos Gases Ideais, que é expressa por:
PV = nRT
Onde:
  • P é a pressão,
  • V é o volume,
  • n é a quantidade de matéria (mols),
  • R é a constante universal dos gases ( 8,314 J/(molcdot K)),
  • T é a temperatura.
Como a quantidade de ar na bolha não muda durante a subida, podemos relacionar as duas situações iniciais e finais:
P1 V1T1 = P2 V2T2

Passo 6

Vamos isolar V2 na equação acima:
V2 = V1 times P1P2 times T2T1
Substituindo os valores que já temos:
V2 = 3,35 times 10^-5 m^3 times 395,625101,325 times 300280
Calculando passo a passo:
  1. 395,625101,325 approx 3,904
  2. 300280 approx 1,071
  3. Então:
V2 approx 3,35 times 10^-5 times 3,904 times 1,071 approx 1,40 times 10^-4 m^3

Resposta

O volume da bolha quando ela atinge a superfície do lago é aproximadamente 1,40 times 10^-4 m^3.

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