Uma bolha de ar esférica com raio de
é liberada 30 m abaixo da superfície de um lago em
. Qual é o seu volume quando a bolha atinge a superfície do lago que está a
300 K supondo que está em equilíbrio térmico o tempo todo? Considere que o ar pode ser tratado como um gás ideal e lgnore o tamanho da bolha comparada com outras dimensões como 30m.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo e quais conceitos vamos usar. Temos uma bolha de ar esférica com raio inicial de
, que está a 30 metros abaixo da superfície de um lago, na temperatura
. Quando essa bolha sobe até a superfície, a temperatura aumenta para
. Queremos descobrir qual será o volume da bolha na superfície, assumindo que o ar dentro dela se comporta como um gás ideal e que a bolha está sempre em equilíbrio térmico durante a subida.
Para resolver isso, vamos precisar usar a Lei dos Gases Ideais, que relaciona pressão, volume e temperatura de um gás. Também precisamos considerar como a pressão muda com a profundidade na água.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a pressão inicial (
) que a bolha sente a 30 metros de profundidade. A pressão total nessa profundidade é a soma da pressão atmosférica (
) mais a pressão causada pela coluna de água acima da bolha.
A pressão devido à água é dada por:
Onde:
-
é a densidade da água (aproximadamente ), -
é a aceleração da gravidade ( ), -
é a profundidade (30 m).
Então:
A pressão atmosférica (
) é aproximadamente
. Portanto, a pressão total inicial é:
Passo 3
Agora, vamos calcular o volume inicial (
) da bolha usando o raio fornecido. A bolha é esférica, então o volume de uma esfera é dado por:
Onde
é o raio.
Convertendo o raio para metros:
Então:
Passo 4
Quando a bolha sobe até a superfície, a pressão (
) muda para a pressão atmosférica, que é
. Além disso, a temperatura aumenta para
. Precisamos relacionar essas duas condições para descobrir o novo volume (
) da bolha.
Passo 5
Vamos usar a Lei dos Gases Ideais, que é expressa por:
Onde:
-
é a pressão, -
é o volume, -
é a quantidade de matéria (mols), -
é a constante universal dos gases ( ), -
é a temperatura.
Como a quantidade de ar na bolha não muda durante a subida, podemos relacionar as duas situações iniciais e finais:
Passo 6
Vamos isolar
na equação acima:
Substituindo os valores que já temos:
Calculando passo a passo:
-
-
- Então:
Resposta
O volume da bolha quando ela atinge a superfície do lago é aproximadamente
.