Uma bolha de ar esférica com raio de é liberada 30 m abaixo da superfície de um lago em . Qual é o seu volume quando a bolha atinge a superfície do lago que está a 300 K supondo que está em equilíbrio térmico o tempo todo? Considere que o ar pode ser tratado como um gás ideal e lgnore o tamanho da bolha comparada com outras dimensões como 30m.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo e quais conceitos vamos usar. Temos uma bolha de ar esférica com raio inicial de , que está a 30 metros abaixo da superfície de um lago, na temperatura . Quando essa bolha sobe até a superfície, a temperatura aumenta para . Queremos descobrir qual será o volume da bolha na superfície, assumindo que o ar dentro dela se comporta como um gás ideal e que a bolha está sempre em equilíbrio térmico durante a subida.
Para resolver isso, vamos precisar usar a Lei dos Gases Ideais, que relaciona pressão, volume e temperatura de um gás. Também precisamos considerar como a pressão muda com a profundidade na água.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a pressão inicial ( ) que a bolha sente a 30 metros de profundidade. A pressão total nessa profundidade é a soma da pressão atmosférica ( ) mais a pressão causada pela coluna de água acima da bolha.
A pressão devido à água é dada por:
á
Onde:
  • é a densidade da água (aproximadamente ),
  • é a aceleração da gravidade ( ),
  • é a profundidade (30 m).
Então:
á
A pressão atmosférica ( ) é aproximadamente . Portanto, a pressão total inicial é:
á

Passo 3

Agora, vamos calcular o volume inicial ( ) da bolha usando o raio fornecido. A bolha é esférica, então o volume de uma esfera é dado por:
Onde é o raio.
Convertendo o raio para metros:
Então:

Passo 4

Quando a bolha sobe até a superfície, a pressão ( ) muda para a pressão atmosférica, que é . Além disso, a temperatura aumenta para . Precisamos relacionar essas duas condições para descobrir o novo volume ( ) da bolha.

Passo 5

Vamos usar a Lei dos Gases Ideais, que é expressa por:
Onde:
  • é a pressão,
  • é o volume,
  • é a quantidade de matéria (mols),
  • é a constante universal dos gases ( ),
  • é a temperatura.
Como a quantidade de ar na bolha não muda durante a subida, podemos relacionar as duas situações iniciais e finais:

Passo 6

Vamos isolar na equação acima:
Substituindo os valores que já temos:
Calculando passo a passo:
  1. Então:

Resposta

O volume da bolha quando ela atinge a superfície do lago é aproximadamente .

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