Uma bolinha de aço, abandonada a 1 m de altura de um piso muito duro, realiza um movimento periódico de subida e descida, por tempo indeterminado se desconsiderarmos as perdas de energia na resistência do ar e nas colisões com o solo. De que altura deve-se abandonar, simultaneamente com a primeira, uma segunda bolinha para que a sua terceira colisão com o solo coincida com a quinta colisão da primeira bolinha?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que está rolando aqui. Temos duas bolinhas de aço que vão ser deixadas caírem de alturas diferentes. A primeira bolinha é solta de 1 metro de altura e começa a pular no chão de forma infinita (sem perder energia). A segunda bolinha será solta ao mesmo tempo que a primeira, mas de uma altura diferente. Precisamos descobrir de que altura soltar a segunda bolinha para que a terceira vez que ela bata no chão coincida exatamente com a quinta vez que a primeira bolinha bate no chão. Para resolver isso, vamos usar conceitos de movimento periódico e tempo de queda livre.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o tempo que uma bolinha leva para ir e voltar depois de ser solta. Quando a bolinha cai de uma altura $ h $, o tempo que ela leva para atingir o chão é dado por:
onde $ g $ é a aceleração da gravidade (aproximadamente $ 9,8 , m/s^2 $).
Como a bolinha vai subir de volta até a mesma altura e depois retornar ao chão, o tempo total de um ciclo completo (subida e descida) é:
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso para as duas bolinhas. Para a primeira bolinha, que é solta de 1 metro:
Cada vez que essa bolinha completa um ciclo, ela bate no chão. Então, a quinta colisão acontece após 5 ciclos:
Passo 4
Para a segunda bolinha, que será solta de uma altura $ h_2 $, o tempo de um ciclo é:
Queremos que a terceira colisão dessa bolinha ocorra no mesmo tempo que a quinta colisão da primeira. Então:
Substituindo os valores:
Passo 5
Vamos simplificar essa equação para encontrar $ h_2 $. Primeiro, podemos dividir ambos os lados por 2:
Agora, dividimos ambos os lados por $ \sqrt{\frac{2}{g}} $:
Elevando ambos os lados ao quadrado para tirar a raiz:
Resposta
A segunda bolinha deve ser abandonada de uma altura de $ \frac{25}{9} $ metros, ou aproximadamente 2,78 metros, para que sua terceira colisão com o solo coincida com a quinta colisão da primeira bolinha.