Uma carreta, usada em demonstrações, movia-se ao longo de uma régua com aceleração constante. No momento em que o cronometro mostrava
, a carreta encontrava-se no ponto
; no momento
no ponto
cm e no momento
no ponto
. Qual é a aceleração da carreta?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que está rolando aqui. Temos uma carreta que está acelerando de forma constante enquanto se move ao longo de uma régua. Foram dadas três posições diferentes em três momentos distintos:
- No tempo $ t_1 = 7 $ segundos, a carreta está em $ x_1 = 70 $ cm.
- No tempo $ t_2 = 9 $ segundos, ela está em $ x_2 = 80 $ cm.
- No tempo $ t_3 = 15 $ segundos, ela está em $ x_3 = 230 $ cm.
O que queremos descobrir é qual é a aceleração dessa carreta. Para resolver isso, vamos usar as equações do movimento com aceleração constante da Cinemática, que nos ajudam a relacionar posição, tempo, velocidade e aceleração.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da equação da posição para um movimento com aceleração constante:
Onde:
- $ x(t) $ é a posição no tempo $ t $,
- $ x_0 $ é a posição inicial,
- $ v_0 $ é a velocidade inicial,
- $ a $ é a aceleração.
Nosso objetivo é encontrar $ a $.
Passo 3
Vamos considerar que a posição inicial $ x_0 $ e a velocidade inicial $ v_0 $ são desconhecidas. Mas como temos três pontos de dados ($ x_1, t_1
x_2, t_2
x_3, t_3 $), podemos montar um sistema de equações para resolver essas incógnitas.
Para cada tempo dado, temos:
Passo 4
Agora, vamos subtrair a primeira equação da segunda e a segunda da terceira para eliminar $ x_0 $ e simplificar o sistema.
Primeira subtração (segunda equação menos primeira):
Segunda subtração (terceira equação menos segunda):
Passo 5
Vamos calcular os valores das diferenças:
Para a primeira subtração:
Para a segunda subtração:
Passo 6
Substituindo esses valores nas equações obtidas:
Primeira equação:
Segunda equação:
Passo 7
Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas ($ v_0 $ e $ a $):
Vamos resolver esse sistema. Podemos simplificar a Equação 2 dividindo todos os termos por 6:
Passo 8
Agora, vamos resolver o sistema simplificado:
Podemos multiplicar a Equação 2 Simplificada por 2 para alinhar os coeficientes de $ v_0 $:
Agora, temos:
Subtraindo a primeira equação da segunda:
Passo 9
Encontramos a aceleração $ a = 5 , cm/s^2 $. Se quisermos converter para unidades mais comuns como metros por segundo ao quadrado:
Resposta
A aceleração da carreta é $ 0,05 , m/s^2 $.