Uma bolinha (conta) desliza em um fio liso dobrado na forma de um aro de raio b. Se o aro é vertical, e se a bolinha estava inicialmente em repouso, em um ponto nivelado com o centro do aro, encontre a velocidade da bolinha no ponto mais baixo do aro. Encontre também a reação do aro sobre a bolinha neste ponto.

Passo 1

Vamos resumir o que o problema nos pede e identificar o conteúdo que vamos usar. Temos uma bolinha que desliza sem atrito em um aro vertical de raio $ b $. Ela começa parada em um ponto que está no mesmo nível do centro do aro. Precisamos encontrar duas coisas:
  1. A velocidade da bolinha no ponto mais baixo do aro.
  2. A força de reação do aro sobre a bolinha nesse ponto.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de Conservação de Energia e Dinâmica do Movimento Circular.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar na conservação de energia. A energia mecânica total (cinética + potencial) da bolinha se mantém constante porque não há atrito. No início, a bolinha tem energia potencial e não tem energia cinética porque está em repouso.
A energia potencial inicial ($ U_i $) pode ser calculada em relação ao ponto mais baixo do aro:
Ui
Aqui, $ h $ é a altura inicial da bolinha em relação ao ponto mais baixo, que é igual ao raio $ b $ do aro. Então:
Ui = mgh

Passo 3

No ponto mais baixo, toda a energia potencial foi convertida em energia cinética ($ K $). A energia cinética é dada por:
K
Como a energia total se conserva:
K = 12mv^2
Podemos simplificar cancelando a massa ($ m $) dos dois lados:
mgb = 12mv^2

Passo 4

Agora, resolvemos a equação para encontrar a velocidade ($ v $):
v
v^2 = 2gb

Passo 5

Com a velocidade no ponto mais baixo, vamos encontrar a força de reação do aro sobre a bolinha. No ponto mais baixo, as forças que atuam são:
  1. A força peso ($ mg $) da bolinha para baixo.
  2. A força de reação ($ N $) do aro para cima.
Além disso, a bolinha está em movimento circular, então há uma força centrípeta necessária para manter o movimento, que é fornecida pela diferença entre a força de reação e o peso:
mg
Substituindo $ v^2 $ que encontramos antes:
N
N - mg = mv^2b
v^2

Resposta

A velocidade da bolinha no ponto mais baixo do aro é $ v = \sqrt{2gb} $ e a força de reação do aro sobre a bolinha nesse ponto é três vezes o peso da bolinha, ou seja, $ N = 3mg $.

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