Um eletron move-se em um campo de força composto de um campo elétrico uniforme
e um campo magnético uniforme
que faz ângulo reto com
. Seja
e
. Considere a posição inicial do eletron na origem com velocidade inicial
na direção
. Encontre o movimento resultante da partícula. Mostre que a trajetória do movimento é uma ciclóide:
Movimento cicloidal de eletrons é utilizado no magnetron - um tubo eletrônico usado para produzir ondas de rádio de alta frequência.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre o movimento de um elétron num campo elétrico e magnético. A gente vai usar conceitos de força de Lorentz, que é a força total que atua em uma carga elétrica em campos elétricos e magnéticos. Precisaremos lembrar das equações de movimento para partículas carregadas e como essas forças agem nas direções x e y. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da força de Lorentz, que é dada por:
Aqui, $ q $ é a carga do elétron, $ \vec{E} $ é o campo elétrico, $ \vec{v} $ é a velocidade do elétron e $ \vec{B} $ é o campo magnético. No nosso caso, o elétron tem carga negativa, mas vamos considerar $ q = -e $ depois.
Passo 3
Vamos decompor as forças nas direções x e y. Dado que $ \vec{E} = E , \overrightarrow{\mathrm{j}} $ e $ \vec{B} = B , \overrightarrow{\mathrm{k}} $, e a velocidade inicial $ \vec{v}_0 = v_0 , \overrightarrow{\mathrm{i}} $, a força elétrica atua na direção y e a força magnética pode influenciar tanto x quanto y.
Calculando $ \vec{v} \times \vec{B} $:
Então, a força total fica:
Passo 4
Agora, aplicamos a segunda lei de Newton $ \vec{F} = m \vec{a} $, onde $ m $ é a massa do elétron e $ \vec{a} $ é a aceleração. Isso nos dá as equações de movimento:
Vamos simplificar dividindo os dois lados por $ m $:
Vamos chamar $ \omega = \frac{e B}{m} $, que é a frequência ciclotrônica, então:
Passo 5
Vamos resolver essas equações diferenciais. Primeiramente, podemos derivar a primeira equação com relação ao tempo:
Substituindo $ \frac{dv_y}{dt} $ da segunda equação:
Isso resulta em uma equação diferencial de segunda ordem:
A solução dessa equação homogênea é da forma:
Considerando as condições iniciais $ v_x(0) = v_0 $ e $ v_y(0) = 0 $, encontramos que:
Analogamente, resolvendo para $ v_y(t) $, obtemos:
Passo 6
Agora, para encontrar a posição, integramos as velocidades em relação ao tempo:
Como a posição inicial é a origem, $ C_x = \frac{E}{B \omega} $, então:
Para $ y(t) $:
Como $ y(0) = 0 $, temos $ C_y = -\frac{v_0}{\omega} + 0 $, então:
Resposta
A trajetória do elétron é uma ciclóide descrita por:
Onde $ \omega = \frac{e B}{m} $. Assim, mostramos que o movimento resultante do elétron é de fato uma ciclóide.