Um eletron move-se em um campo de força composto de um campo elétrico uniforme E e um campo magnético uniforme B que faz ângulo reto com E. Seja E=j E e B=k B. Considere a posição inicial do eletron na origem com velocidade inicial v0=imath v0 na direção x. Encontre o movimento resultante da partícula. Mostre que a trajetória do movimento é uma ciclóide:
x & =a sen omega t+b t y & =c(1-cos omega t) z & =0
Movimento cicloidal de eletrons é utilizado no magnetron - um tubo eletrônico usado para produzir ondas de rádio de alta frequência.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre o movimento de um elétron num campo elétrico e magnético. A gente vai usar conceitos de força de Lorentz, que é a força total que atua em uma carga elétrica em campos elétricos e magnéticos. Precisaremos lembrar das equações de movimento para partículas carregadas e como essas forças agem nas direções x e y. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da força de Lorentz, que é dada por:
F = q (E + v times B)
Aqui, $ q $ é a carga do elétron, $ \vec{E} $ é o campo elétrico, $ \vec{v} $ é a velocidade do elétron e $ \vec{B} $ é o campo magnético. No nosso caso, o elétron tem carga negativa, mas vamos considerar $ q = -e $ depois.

Passo 3

Vamos decompor as forças nas direções x e y. Dado que $ \vec{E} = E , \overrightarrow{\mathrm{j}} $ e $ \vec{B} = B , \overrightarrow{\mathrm{k}} $, e a velocidade inicial $ \vec{v}_0 = v_0 , \overrightarrow{\mathrm{i}} $, a força elétrica atua na direção y e a força magnética pode influenciar tanto x quanto y.
Calculando $ \vec{v} \times \vec{B} $:
E = E , j
Então, a força total fica:
B = B , k

Passo 4

Agora, aplicamos a segunda lei de Newton $ \vec{F} = m \vec{a} $, onde $ m $ é a massa do elétron e $ \vec{a} $ é a aceleração. Isso nos dá as equações de movimento:
F = m a
Vamos simplificar dividindo os dois lados por $ m $:
m
Vamos chamar $ \omega = \frac{e B}{m} $, que é a frequência ciclotrônica, então:
a

Passo 5

Vamos resolver essas equações diferenciais. Primeiramente, podemos derivar a primeira equação com relação ao tempo:
d^2 vxdt^2 = omega dvydt
Substituindo $ \frac{dv_y}{dt} $ da segunda equação:
dvydt
Isso resulta em uma equação diferencial de segunda ordem:
d^2 vxdt^2 = omega ( -omega vx - e Em ) = -omega^2 vx - omega e Em
A solução dessa equação homogênea é da forma:
d^2 vxdt^2 + omega^2 vx = -omega e Em
Considerando as condições iniciais $ v_x(0) = v_0 $ e $ v_y(0) = 0 $, encontramos que:
vx(t) = A cos(omega t) + B sin(omega t) + constante
Analogamente, resolvendo para $ v_y(t) $, obtemos:
vx(0) = v0

Passo 6

Agora, para encontrar a posição, integramos as velocidades em relação ao tempo:
x(t) = integral vx(t) , dt = integral ( v0 cos(omega t) + EB sin(omega t) ) dt = v0omega sin(omega t) - EB omega cos(omega t) + Cx
Como a posição inicial é a origem, $ C_x = \frac{E}{B \omega} $, então:
Cx = EB omega
Para $ y(t) $:
x(t) = v0omega sin(omega t) + EB t
Como $ y(0) = 0 $, temos $ C_y = -\frac{v_0}{\omega} + 0 $, então:
y(t)

Resposta

A trajetória do elétron é uma ciclóide descrita por:
x(t) &= v0omega sin(omega t) + EB t y(t) &= v0omega (1 - cos(omega t)) z(t) &= 0
Onde $ \omega = \frac{e B}{m} $. Assim, mostramos que o movimento resultante do elétron é de fato uma ciclóide.

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