A corda de um pêndulo esférico de comprimento
está inicialmente fazendo um ângulo de
com a vertical. Dá-se à massa do pêndulo uma velocidade inicial
perpendicular à corda. Se
encontre o ponto mais baixo atingido pela massa do pêndulo durante seu movimento. (Sugestão: A partir das condições iniciais
é uma raiz da equação
).
Passo 1
Vamos lá! Temos um exercício sobre o pêndulo esférico, que é quando a corda do pêndulo pode oscilar em qualquer direção. O enunciado diz que a corda tem comprimento $ l $ e inicialmente está fazendo um ângulo de $ 90^{\circ} $ com a vertical, ou seja, ela está horizontal. Depois, damos à massa do pêndulo uma velocidade inicial $ v_{0} $ perpendicular à corda. Além disso, sabemos que $ v_{0}^{2} = \frac{g l}{2} $. Nosso objetivo é descobrir qual é o ponto mais baixo que a massa do pêndulo atinge durante o seu movimento. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de energia mecânica e movimento circular.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a energia envolvida no sistema. A energia mecânica total de um pêndulo é a soma da energia cinética (devido ao movimento) e da energia potencial gravitacional (devido à posição). A fórmula é:
onde:
- $ m $ é a massa do pêndulo,
- $ v $ é a velocidade da massa,
- $ g $ é a aceleração da gravidade,
- $ h $ é a altura em relação ao ponto mais baixo.
Passo 3
No ponto inicial, quando a corda está horizontal ($ 90^{\circ} $ com a vertical), a altura $ h $ da massa em relação ao ponto mais baixo é igual ao comprimento da corda $ l $. A velocidade inicial é $ v_{0} $ e nos é dado que $ v_{0}^{2} = \frac{g l}{2} $.
Então, a energia total inicial $ E_{inicial} $ é:
Substituindo $ v_{0}^{2} $:
Passo 4
No ponto mais baixo que a massa irá atingir, a altura $ h_{min} $ será menor que $ l $, e a velocidade será máxima. Vamos chamar essa velocidade de $ v_{min} $. A energia total nesse ponto será:
Como a energia total é conservada, igualamos as duas expressões:
Podemos simplificar dividindo toda a equação por $ m $:
Passo 5
Vamos agora expressar $ h_{min} $ em termos do ângulo $ \theta $ que a corda faz com a vertical no ponto mais baixo. Quando a corda faz um ângulo $ \theta $ com a vertical, a altura $ h $ é:
Substituindo na equação anterior:
Passo 6
Agora, precisamos relacionar $ v_{min} $ com $ \theta $. Para isso, usamos a conservação de energia novamente. No ponto mais baixo, toda a energia cinética veio da diferença de energia potencial. Mas como já usamos a conservação anteriormente, podemos simplificar e resolver a equação para $ \cos \theta $.
Rearranjando a equação:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Passo 7
Sabemos que na trajetória do pêndulo, a velocidade $ v $ está relacionada ao ângulo $ \theta $ pela seguinte expressão:
onde $ \theta_{0} $ é o ângulo inicial, que aqui é $ 90^{\circ} $ ou $ \frac{\pi}{2} $ radianos. Portanto:
Isso sugere que há uma relação entre $ v_{min}^{2} $ e $ \cos \theta $:
Passo 8
Vamos igualar as duas expressões que temos para $ v_{min}^{2} $:
Somando $ 2 g l \cos \theta $ aos dois lados:
Dividindo por $ g l $:
Passo 9
Resolvendo para $ \cos \theta $:
Agora, encontramos o ângulo $ \theta $ no ponto mais baixo:
Passo 10
Para encontrar a altura $ h_{min} $ correspondente a este ângulo, usamos novamente:
Portanto, o ponto mais baixo atingido pela massa do pêndulo está a uma altura de $ \frac{9 l}{8} $ em relação ao ponto mais baixo inicial.
Resposta
O ponto mais baixo atingido pela massa do pêndulo está a uma altura de $ \frac{9 l}{8} $ em relação ao ponto mais baixo inicial.