A bolinha ligada ao fio de comprimento L se solta para o valor de theta=5^circ, passa pelo ponto mais baixo B e repousa instantaneamente no ponto C . O tempo entre A e B é de 0,628 s e o tempo entre B e C é de 0,444 s. Determine o valor em graus do ângulo varphi. (Considere g=10 m / s^2 )

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma bolinha presa num fio de comprimento que é solta de um ângulo inicial . Ela passa pelo ponto mais baixo e depois para o ponto . O tempo que leva para ir de (ponto de soltura) até é de segundos, e de até é de segundos. Nosso objetivo é encontrar o ângulo em graus. Para resolver, vamos precisar entender o movimento de um pêndulo simples e usar fórmulas de período e tempo de oscilação.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que o período de um pêndulo simples, que é o tempo para completar uma oscilação completa (ir de um lado, passar pelo meio e voltar), é dado por:
T = 2pi raizLg
onde:
  • é o período,
  • é o comprimento do fio,
  • é a aceleração da gravidade (que neste caso é ).

Passo 3

Como a bolinha vai do ponto T = 4 times tAB = 4 times 0,628 = 2,512 , segundos até , que é o ponto mais baixo, esse trajeto representa um quarto do período completo (já que uma oscilação completa é de a e de volta a ). Assim, podemos relacionar o tempo segundos ao período:

Passo 4

Agora, vamos considerar o trajeto de até . Esse intervalo de tempo segundos também representa um quarto do período, mas como esse tempo é menor, significa que o pêndulo não alcançou a mesma altura que no ponto , ou seja, houve uma perda de energia que fez com que o ângulo em seja menor que .

Passo 5

Vamos usar a relação entre o período e o ângulo de amplitude para pequenos ângulos. Para pequenos deslocamentos, a amplitude do pêndulo diminui devido à resistência do ar ou outras forças dissipativas, e o tempo do quarto período está relacionado ao novo ângulo tBC = T4 implies T = 4 times tBC = 4 times 0,444 = 1,776 , segundos . A relação é:

Passo 6

Agora, temos dois valores para o período:
  • segundos quando a amplitude é ,
  • segundos quando a amplitude é .
Sabemos que o período de um pêndulo depende do comprimento e da aceleração da gravidade , mas aqui, o comprimento permanece o mesmo. A redução do período indica que a amplitude diminuiu para .

Passo 7

Comparando os períodos:
TvarphiT5^circ = 1,7762,512 approx 0,707
Isso sugere que o período diminuiu em cerca de TvarphiT5^circ = raizvarphi5^circ implies 0,707 = raizvarphi5^circ . Como o período de um pêndulo para pequenas oscilações é inversamente relacionado à raiz quadrada da amplitude, podemos relacionar os ângulos da seguinte forma:

Passo 8

Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
(0,707)^2 = varphi5^circ implies 0,5 = varphi5^circ
varphi = 5^circ times 0,5 = 2,5^circ

Resposta

O ângulo é de .

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