A bolinha ligada ao fio de comprimento L se solta para o valor de
, passa pelo ponto mais baixo
e repousa instantaneamente no ponto C . O tempo entre A e B é de
e o tempo entre B e C é de
. Determine o valor em graus do ângulo
. (Considere
)
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma bolinha presa num fio de comprimento
que é solta de um ângulo inicial
. Ela passa pelo ponto mais baixo
e depois para o ponto
. O tempo que leva para ir de
(ponto de soltura) até
é de
segundos, e de
até
é de
segundos. Nosso objetivo é encontrar o ângulo
em graus. Para resolver, vamos precisar entender o movimento de um pêndulo simples e usar fórmulas de período e tempo de oscilação.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que o período de um pêndulo simples, que é o tempo para completar uma oscilação completa (ir de um lado, passar pelo meio e voltar), é dado por:
onde:
-
é o período, -
é o comprimento do fio, -
é a aceleração da gravidade (que neste caso é ).
Passo 3
Como a bolinha vai do ponto
até
, que é o ponto mais baixo, esse trajeto representa um quarto do período completo (já que uma oscilação completa é de
a
e de volta a
). Assim, podemos relacionar o tempo
segundos ao período:
Passo 4
Agora, vamos considerar o trajeto de
até
. Esse intervalo de tempo
segundos também representa um quarto do período, mas como esse tempo é menor, significa que o pêndulo não alcançou a mesma altura que no ponto
, ou seja, houve uma perda de energia que fez com que o ângulo
em
seja menor que
.
Passo 5
Vamos usar a relação entre o período e o ângulo de amplitude para pequenos ângulos. Para pequenos deslocamentos, a amplitude do pêndulo diminui devido à resistência do ar ou outras forças dissipativas, e o tempo do quarto período está relacionado ao novo ângulo
. A relação é:
Passo 6
Agora, temos dois valores para o período:
-
segundos quando a amplitude é , -
segundos quando a amplitude é .
Sabemos que o período de um pêndulo depende do comprimento
e da aceleração da gravidade
, mas aqui, o comprimento permanece o mesmo. A redução do período indica que a amplitude diminuiu para
.
Passo 7
Comparando os períodos:
Isso sugere que o período diminuiu em cerca de
. Como o período de um pêndulo para pequenas oscilações é inversamente relacionado à raiz quadrada da amplitude, podemos relacionar os ângulos da seguinte forma:
Passo 8
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Resposta
O ângulo
é de
.