Uma haste pendurada verticalmente pode oscilar livremente pelo dispositivo fixo ao teto. Uma bola com a mesma massa da haste, m=0,50 kg, é fixa no centro da haste. Determine o periodo do conjunto se L=1,0 m e o momento de inercia total, em relação ao ponto de giro, é 0,29 kg m. (Considere g=10 m / s^2 )

Passo 1

Vamos entender o problema: temos uma haste vertical com massa m = 0,50 kg e comprimento L = 1,0 m. No centro dessa haste, está fixada uma bola com a mesma massa. Queremos descobrir o período de oscilação desse sistema. Para resolver isso, vamos usar conceitos de momento de inércia e a fórmula do período para um pêndulo físico.

Passo 2

Primeiro, identificamos o momento de inércia total do sistema, que já foi fornecido: I = 0,29 kg cdot m^2.

Passo 3

O período T de oscilação de um pêndulo físico é dado pela fórmula:
T = 2pi raizIm g d
onde:
  • I é o momento de inércia em relação ao ponto de giro,
  • m é a massa total do sistema,
  • g é a aceleração da gravidade ( 10 m/s^2),
  • d é a distância do centro de massa até o ponto de giro.

Passo 4

Precisamos determinar a distância d do centro de massa até o ponto de giro. A haste de comprimento L = 1,0 m está fixada no teto, e a bola está no centro da haste. Portanto, o centro de massa do sistema está a metade do comprimento da haste do ponto de giro:
d = L2 = 1,0 m2 = 0,5 m

Passo 5

Agora, substituímos os valores na fórmula do período:
T = 2pi raiz0,29 kg cdot m^20,50 kg times 10 m/s^2 times 0,5 m

Passo 6

Vamos calcular o denominador:
m g d = 0,50 times 10 times 0,5 = 2,5 kg cdot m/s^2
Agora, a expressão fica:
T = 2pi raiz0,292,5 = 2pi raiz0,116 approx 2pi times 0,34 approx 2,14 segundos

Resposta

O período de oscilação do conjunto é aproximadamente 2,14 segundos.

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