Uma bolinha de vidro desliza sobre uma mesa horizontal e ao perder contato com esta apresentava a velocidade de 2,00 m/s. A altura da mesa é
. Considere desprezível a resistência do ar e que a aceleração da gravidade tem módulo de 9,80
. Determinar: (A) a que distância em relação à extremidade da mesa a bolinha atinge o solo. (B) a equação da trajetória e o gráfico da trajetória.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma bolinha de vidro que desliza sobre uma mesa horizontal. Quando ela sai da mesa, está com uma velocidade de 2,00 m/s. A altura da mesa é de 1,20 metros e a aceleração da gravidade é 9,80 m/s². Queremos descobrir duas coisas:
A) Qual a distância que a bolinha percorre no ar antes de atingir o chão após sair da mesa.
B) A equação que descreve o caminho (trajetória) da bolinha e como essa trajetória se parece graficamente.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de movimento uniformemente variado, especificamente o movimento de projétil.
Passo 2
Vamos começar com a parte A, que pede a distância que a bolinha percorre no ar.
Primeiro, precisamos entender que quando a bolinha sai da mesa, ela tem uma velocidade horizontal inicial de 2,00 m/s e nenhuma velocidade vertical inicial (porque ela só se move horizontalmente ao sair). Só a gravidade vai atuar na direção vertical.
Vamos calcular o tempo que a bolinha leva para cair do alto da mesa até o chão.
Para isso, usamos a fórmula do movimento vertical:
Onde:
-
é a altura (1,20 m) -
é a aceleração da gravidade (9,80 m/s²) -
é o tempo
Rearranjando para encontrar
:
Substituindo os valores:
Passo 3
Agora que sabemos o tempo que a bolinha está no ar, podemos calcular a distância horizontal que ela percorre nesse tempo.
Usamos a fórmula do movimento horizontal, que é uniforme (sem aceleração):
Onde:
-
é a distância -
é a velocidade horizontal (2,00 m/s) -
é o tempo (0,4949 s)
Substituindo os valores:
Arredondando, a distância é de aproximadamente 0,99 metros.
Passo 4
Agora vamos para a parte B, que pede a equação da trajetória e o gráfico.
A trajetória da bolinha é uma curva parabólica, típica do movimento de projétil. Vamos expressar essa trajetória em coordenadas.
Vamos definir:
- O ponto onde a bolinha sai da mesa como a origem dos nossos eixos, ou seja,
. - O eixo
na horizontal e na vertical.
A posição horizontal em função do tempo é:
A posição vertical em função do tempo é:
Para eliminar o tempo
e obter a equação da trajetória
em função de
, resolvemos
da equação horizontal:
Substituindo na equação vertical:
Então, a equação da trajetória é:
Resposta
(A) A bolinha atinge o solo a aproximadamente 0,99 metros da extremidade da mesa.
(B) A equação da trajetória é
. O gráfico dessa trajetória é uma parábola que começa no ponto (0,1,20) e se abre para baixo.
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ao final de uma rampa, inclinada em 300 em relação à horizontal e uma altura de
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