Uma bolinha de vidro desliza sobre uma mesa horizontal e ao perder contato com esta apresentava a velocidade de 2,00 m/s. A altura da mesa é 1,20 m. Considere desprezível a resistência do ar e que a aceleração da gravidade tem módulo de 9,80 m / s^2. Determinar: (A) a que distância em relação à extremidade da mesa a bolinha atinge o solo. (B) a equação da trajetória e o gráfico da trajetória.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma bolinha de vidro que desliza sobre uma mesa horizontal. Quando ela sai da mesa, está com uma velocidade de 2,00 m/s. A altura da mesa é de 1,20 metros e a aceleração da gravidade é 9,80 m/s². Queremos descobrir duas coisas:
A) Qual a distância que a bolinha percorre no ar antes de atingir o chão após sair da mesa.
B) A equação que descreve o caminho (trajetória) da bolinha e como essa trajetória se parece graficamente.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de movimento uniformemente variado, especificamente o movimento de projétil.

Passo 2

Vamos começar com a parte A, que pede a distância que a bolinha percorre no ar.
Primeiro, precisamos entender que quando a bolinha sai da mesa, ela tem uma velocidade horizontal inicial de 2,00 m/s e nenhuma velocidade vertical inicial (porque ela só se move horizontalmente ao sair). Só a gravidade vai atuar na direção vertical.
Vamos calcular o tempo que a bolinha leva para cair do alto da mesa até o chão.
Para isso, usamos a fórmula do movimento vertical:
h = 12 g t^2
Onde:
  • t = raiz2hg é a altura (1,20 m)
  • t = raiz2 times 1,209,80 é a aceleração da gravidade (9,80 m/s²)
  • t = raiz2,409,80 é o tempo
Rearranjando para encontrar t = raiz0,2449 :
t approx 0,4949 segundos
Substituindo os valores:

Passo 3

Agora que sabemos o tempo que a bolinha está no ar, podemos calcular a distância horizontal que ela percorre nesse tempo.
Usamos a fórmula do movimento horizontal, que é uniforme (sem aceleração):
d = vx times t
Onde:
  • d = 2,00 times 0,4949 é a distância
  • d approx 0,9898 metros é a velocidade horizontal (2,00 m/s)
  • é o tempo (0,4949 s)
Substituindo os valores:
Arredondando, a distância é de aproximadamente 0,99 metros.

Passo 4

Agora vamos para a parte B, que pede a equação da trajetória e o gráfico.
A trajetória da bolinha é uma curva parabólica, típica do movimento de projétil. Vamos expressar essa trajetória em coordenadas.
Vamos definir:
  • O ponto onde a bolinha sai da mesa como a origem dos nossos eixos, ou seja, x(t) = vx times t .
  • O eixo x(t) = 2,00 times t na horizontal e y(t) = h - 12 g t^2 na vertical.
A posição horizontal em função do tempo é:
y(t) = 1,20 - 12 times 9,80 times t^2
y(t) = 1,20 - 4,90 t^2
A posição vertical em função do tempo é:
t = x2,00
y = 1,20 - 4,90 ( x2,00 )^2
y = 1,20 - 4,90 times x^24,00
Para eliminar o tempo y = 1,20 - 1,225 x^2 e obter a equação da trajetória y = 1,20 - 1,225 x^2 em função de , resolvemos da equação horizontal:
Substituindo na equação vertical:
Então, a equação da trajetória é:

Resposta

(A) A bolinha atinge o solo a aproximadamente 0,99 metros da extremidade da mesa.
(B) A equação da trajetória é . O gráfico dessa trajetória é uma parábola que começa no ponto (0,1,20) e se abre para baixo.

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