Uma moto e seu piloto atingem uma velocidade de 90,0 km / h ao final de uma rampa, inclinada em 300 em relação à horizontal e uma altura de 10,00 m em relação ao solo. Considere desprezível a resistência do ar e que a aceleração da gravidade tem módulo de 9,80 m / s^2. Determinar: G) O gráfico da trajetória, ou seja, da altura em função da coordenada horizontal.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma moto e seu piloto que alcançam uma velocidade de ao final de uma rampa inclinada de em relação à horizontal e com uma altura de acima do solo. Precisamos determinar o gráfico da trajetória, ou seja, a altura em função da coordenada horizontal . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática, especificamente o movimento de projéteis.

Passo 2

Primeiro, vamos converter a velocidade de 90,0 , km/h = 90,03,6 , m/s = 25,0 , m/s para metros por segundo ( ), pois as unidades padrão do SI serão mais fáceis de trabalhar. A conversão é feita dividindo por :

Passo 3

Agora, vamos decompor essa velocidade em suas componentes horizontal ( vx = v cdot cos(theta) = 25,0 , m/s cdot cos(30^circ) approx 21,65 , m/s ) e vertical ( vy = v cdot sen(theta) = 25,0 , m/s cdot sen(30^circ) = 12,5 , m/s ). Como a rampa está inclinada em , usamos as funções trigonométricas cosseno e seno:

Passo 4

Com as componentes da velocidade conhecidas, podemos escrever as equações do movimento para x(t) = vx cdot t e y(t) = y0 + vy cdot t - 12 g t^2 . Para o movimento horizontal, sem aceleração:
Para o movimento vertical, considerando a aceleração da gravidade :
onde é a altura inicial.

Passo 5

Queremos expressar t = xvx em função de y(x) = 10,00 , m + vy ( xvx ) - 12 g ( xvx )^2 , ou seja, . Para isso, isolamos na equação de :
Substituindo esse valor de na equação de :

Passo 6

Simplificando a expressão:
y(x) = 10,00 , m + ( vyvx ) x - ( g2 vx^2 ) x^2
Substituindo os valores numéricos:
y(x) = 10,00 , m + ( 12,5 , m/s21,65 , m/s ) x - ( 9,80 , m/s^22 cdot (21,65 , m/s)^2 ) x^2

Resposta

A equação da trajetória da moto em função da coordenada horizontal y(x) = 10,00 , m + 0,577 x - 0,0103 x^2 é:

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