Uma bomba, movendo-se com velocidade v0 explode em três pedaços de massas iguais. Logo após a explosão, um dos pedaços tem velocidade v1=v0 e os outros dois têm velocidades v2 e v3 que são iguais em magnitude (v2=v3), mas são mutuamente perpendiculares. Determine v2 e v3 e esboce o gráfico dos três vetores velocidade.

Passo 1

Vamos resolver o exercício sobre a explosão de uma bomba que se move com uma certa velocidade. O conteúdo envolve leis da conservação do momento linear. Para resolver, vamos precisar entender como o momento se comporta quando um objeto se divide em partes após uma explosão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o momento linear ( p = m cdot v ) de um objeto é dado por:
onde é a massa e é a velocidade.

Passo 3

Antes da explosão, a bomba tem uma velocidade e uma massa total que vamos dividir em três partes iguais. Assim, cada pedaço tem massa , onde é a massa total da bomba.

Passo 4

De acordo com a conservação do momento linear, o momento total antes da explosão é igual ao momento total depois. Então:
ptotal antes = ptotal depois
M cdot v0 = m cdot v1 + m cdot v2 + m cdot v3

Passo 5

Sabemos que M cdot v0 = m cdot v0 + m cdot v2 + m cdot v3 e que com e perpendiculares. Substituindo:

Passo 6

Como as massas são iguais ( 3 cdot v0 = v0 + v2 + v3 ), podemos dividir toda a equação por 2 cdot v0 = v2 + v3 :
Subtraindo de ambos os lados:

Passo 7

Como e são perpendiculares e de mesma magnitude, podemos representar como e como , onde .

Passo 8

Substituindo na equação:
2 cdot v0 = v cdot i + v cdot j
Isso implica que:
2 cdot v0 = v (i + j)

Passo 9

Para encontrar 2v0 = v raiz2 , basta resolver a magnitude dos vetores. A magnitude de v = 2v0raiz2 = raiz2 cdot v0 é , e a magnitude de é .
Igualando as magnitudes:
Resolvendо para :

Passo 10

Portanto, as velocidades dos pedaços são:
v2 = raiz2 cdot v0 cdot i
v3 = raiz2 cdot v0 cdot j

Resposta

As velocidades v2 = raiz2 cdot v0 cdot i e v3 = raiz2 cdot v0 cdot j são iguais em magnitude e perpendiculares, dadas por:
No gráfico, coincide com , aponta na direção horizontal e na direção vertical, formando um triângulo com as três velocidades representadas como vetores perpendiculares.

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