Um jogador chuta uma bola com velocidade
em um ângulo
acima do solo horizontal. Assuma que
é fixo e que a resistência do ar pode ser desprezada.
c) Determine essa velocidade caso
.
c) Determine essa velocidade caso
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre o movimento de um projétil, que nesse caso é a bola chutada pelo jogador. O objetivo é descobrir a velocidade inicial $ v_0 $ com que a bola foi chutada, dado que o ângulo de lançamento é $ \theta = 25^\circ $, a distância horizontal percorrida é $ d = 50 , m $ e a altura final é $ h = 2 , m $. Para isso, vamos usar os conceitos de cinemática de projéteis, que envolvem as equações do movimento horizontal e vertical.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar das equações básicas do movimento de um projétil sem resistência do ar:
-
Movimento Horizontal:Onde:
- $ d $ é a distância horizontal.
- $ v_0 $ é a velocidade inicial.
- $ \theta $ é o ângulo de lançamento.
- $ t $ é o tempo de voo.
-
Movimento Vertical:Onde:
- $ h $ é a altura final.
- $ g $ é a aceleração da gravidade ($ \approx 9,81 , m/s^2 $).
Passo 3
Vamos começar resolvendo para o tempo $ t $ usando a equação do movimento horizontal:
Isso nos permite expressar o tempo de voo em termos de $ v_0 $.
Passo 4
Agora, substituímos essa expressão de $ t $ na equação do movimento vertical:
Simplificando a equação:
Onde $ \tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)} $.
Passo 5
Vamos reorganizar a equação para resolver $ v_0 $:
Multiplicando ambos os lados por $ v_0^2 $:
Finalmente, isolamos $ v_0 $:
Passo 6
Agora, vamos substituir os valores conhecidos na equação:
- $ \theta = 25^\circ $
- $ d = 50 , m $
- $ h = 2 , m $
- $ g = 9,81 , m/s^2 $
Primeiro, calculamos $ \tan(25^\circ) $ e $ \cos(25^\circ) $:
Então:
Calculando passo a passo:
- $ 50^2 = 2500 $
- $ 50 \cdot 0,4663 \approx 23,315 $
- $ 23,315 - 2 = 21,315 $
- $ (0,9063)^2 \approx 0,8214 $
- $ 2 \cdot 0,8214 \cdot 21,315 \approx 35,0 $
- $ 9,81 \cdot 2500 = 24.525 $
- $ \frac{24.525}{35,0} \approx 700,7 $
- $ \sqrt{700,7} \approx 26,47 , m/s $
Resposta
A velocidade inicial necessária é aproximadamente $ v_0 = 26,47 , m/s $.