Um jogador chuta uma bola com velocidade v0 em um ângulo theta acima do solo horizontal. Assuma que theta é fixo e que a resistência do ar pode ser desprezada.
c) Determine essa velocidade caso theta=25^circ, d=50 m e h=2 m.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre o movimento de um projétil, que nesse caso é a bola chutada pelo jogador. O objetivo é descobrir a velocidade inicial $ v_0 $ com que a bola foi chutada, dado que o ângulo de lançamento é $ \theta = 25^\circ $, a distância horizontal percorrida é $ d = 50 , m $ e a altura final é $ h = 2 , m $. Para isso, vamos usar os conceitos de cinemática de projéteis, que envolvem as equações do movimento horizontal e vertical.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das equações básicas do movimento de um projétil sem resistência do ar:
  1. Movimento Horizontal:
    d = v0 cdot cos(theta) cdot t
    Onde:
    • $ d $ é a distância horizontal.
    • $ v_0 $ é a velocidade inicial.
    • $ \theta $ é o ângulo de lançamento.
    • $ t $ é o tempo de voo.
  2. Movimento Vertical:
    d
    Onde:
    • $ h $ é a altura final.
    • $ g $ é a aceleração da gravidade ($ \approx 9,81 , m/s^2 $).

Passo 3

Vamos começar resolvendo para o tempo $ t $ usando a equação do movimento horizontal:
t
Isso nos permite expressar o tempo de voo em termos de $ v_0 $.

Passo 4

Agora, substituímos essa expressão de $ t $ na equação do movimento vertical:
t
Simplificando a equação:
h = v0 cdot sin(theta) cdot ( dv0 cdot cos(theta) ) - 12 cdot g cdot ( dv0 cdot cos(theta) )^2
Onde $ \tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)} $.

Passo 5

Vamos reorganizar a equação para resolver $ v_0 $:
v0
Multiplicando ambos os lados por $ v_0^2 $:
g cdot d^22 cdot v0^2 cdot cos^2(theta) = d cdot tan(theta) - h
Finalmente, isolamos $ v_0 $:
v0^2

Passo 6

Agora, vamos substituir os valores conhecidos na equação:
  • $ \theta = 25^\circ $
  • $ d = 50 , m $
  • $ h = 2 , m $
  • $ g = 9,81 , m/s^2 $
Primeiro, calculamos $ \tan(25^\circ) $ e $ \cos(25^\circ) $:
theta = 25^circ
d = 50 , m
Então:
h = 2 , m
Calculando passo a passo:
  1. $ 50^2 = 2500 $
  2. $ 50 \cdot 0,4663 \approx 23,315 $
  3. $ 23,315 - 2 = 21,315 $
  4. $ (0,9063)^2 \approx 0,8214 $
  5. $ 2 \cdot 0,8214 \cdot 21,315 \approx 35,0 $
  6. $ 9,81 \cdot 2500 = 24.525 $
  7. $ \frac{24.525}{35,0} \approx 700,7 $
  8. $ \sqrt{700,7} \approx 26,47 , m/s $

Resposta

A velocidade inicial necessária é aproximadamente $ v_0 = 26,47 , m/s $.

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