Segundo o texto (págs. 86-87), um foguete cuja massa original é composta de 90% de combustível terá um ganho máximo na velocidade igual a 2,3vex quando todo o combustível for queimado. Prove isso matematicamente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um foguete que tem 90% da sua massa original sendo combustível. O que precisamos provar é que a velocidade máxima que ele pode ganhar é igual a 2,3vex, onde vex é a velocidade de exaustão dos gases. Para resolver isso, vamos usar a Equação do foguete de Tsiolkovsky, que conecta a mudança de velocidade ( De) do foguete com a massa inicial e final e a velocidade de exaustão.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a Equação do Foguete de Tsiolkovsky. Ela é:
De
Onde:
  • De é a mudança na velocidade do foguete.
  • vex é a velocidade de exaustão dos gases.
  • m0 é a massa inicial do foguete (com combustível).
  • m1 é a massa final do foguete (sem combustível).

Passo 3

Agora, vamos identificar as massas. Sabemos que 90% da massa original é combustível. Então:
m0 = massa total original
mcombustível = 0,9m0 í
m1 = m0 - mcombustível = m0 - 0,9m0 = 0,1m0 í

Passo 4

Com essas informações, substituímos na equação:
De
Sabemos que ln(10) approx 2,3. Então:
De

Resposta

O ganho máximo na velocidade do foguete é igual a 2,3vex.

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