Uma massa
move-se ao longo do eixo
sujeita a uma força
, onde
e
são constantes.
c) Determine
c) Determine
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma massa $ m $ que está se movendo ao longo do eixo $ x $ e está sendo influenciada por uma força que depende da velocidade dela. A força é dada por $ F(v) = -F_0 e^{v / V} $, onde $ F_0 $ e $ V $ são constantes. Nosso objetivo aqui é encontrar a posição $ x(t) $ da massa em função do tempo.
Para resolver isso, a gente vai precisar usar conceitos de dinâmica e cálculo, especialmente a relação entre força, velocidade e posição. Vamos precisar também resolver uma equação diferencial para chegar em $ x(t) $.
Passo 2
Primeiro, lembre-se da segunda Lei de Newton, que relaciona força ($ F
m
a $):
A aceleração $ a $ é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Então, podemos escrever:
Passo 3
Agora, vamos substituir a força $ F(v) $ pela expressão dada:
Vamos reorganizar essa equação para separar as variáveis $ v $ e $ t $:
Passo 4
Para resolver essa equação diferencial, vamos separar as variáveis $ v $ e $ t $:
Agora, precisamos integrar os dois lados da equação. Integramos o lado esquerdo com respeito a $ v $ e o lado direito com respeito a $ t $:
Passo 5
Vamos resolver a integral do lado esquerdo:
E a integral do lado direito:
Então, temos:
Podemos simplificar multiplicando ambos os lados por -1:
Passo 6
Vamos resolver para $ e^{-v / V} $:
Vamos chamar $ \frac{C’}{V} = C’’ $ (uma constante):
Tomando o logaritmo natural dos dois lados para resolver para $ v $:
Então,
Passo 7
Agora que temos $ v(t) $, podemos encontrar $ x(t) $ integrando $ v(t) $ com respeito ao tempo:
Essa integral pode ser resolvida por partes ou utilizando uma substituição apropriada. Vamos deixar os detalhes da integração de lado para simplificar.
Passo 8
Depois de resolver a integral, a forma geral de $ x(t) $ fica:
Essa constante pode ser determinada usando condições iniciais, como a posição inicial $ x(0) $.
Resposta
A posição da massa em função do tempo é dada por
onde $ C $ é uma constante que pode ser determinada com base nas condições iniciais do problema.