Uma massa m move-se ao longo do eixo x sujeita a uma força F(v)=-F0 e^v / V, onde F0 e V são constantes.
c) Determine x(t)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma massa $ m $ que está se movendo ao longo do eixo $ x $ e está sendo influenciada por uma força que depende da velocidade dela. A força é dada por $ F(v) = -F_0 e^{v / V} $, onde $ F_0 $ e $ V $ são constantes. Nosso objetivo aqui é encontrar a posição $ x(t) $ da massa em função do tempo.
Para resolver isso, a gente vai precisar usar conceitos de dinâmica e cálculo, especialmente a relação entre força, velocidade e posição. Vamos precisar também resolver uma equação diferencial para chegar em $ x(t) $.

Passo 2

Primeiro, lembre-se da segunda Lei de Newton, que relaciona força ($ F F m m çã a $):
a
A aceleração $ a $ é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
F = m cdot a
Então, podemos escrever:
a

Passo 3

Agora, vamos substituir a força $ F(v) $ pela expressão dada:
F(v)
Vamos reorganizar essa equação para separar as variáveis $ v $ e $ t $:
-F0 e^v / V = m cdot dvdt

Passo 4

Para resolver essa equação diferencial, vamos separar as variáveis $ v $ e $ t $:
v
Agora, precisamos integrar os dois lados da equação. Integramos o lado esquerdo com respeito a $ v $ e o lado direito com respeito a $ t $:
t

Passo 5

Vamos resolver a integral do lado esquerdo:
integral e^-v / V dv = -V e^-v / V + C
E a integral do lado direito:
-F0m t + C
Então, temos:
- V e^-v / V = -F0m t + C
Podemos simplificar multiplicando ambos os lados por -1:
V e^-v / V = F0m t + C'

Passo 6

Vamos resolver para $ e^{-v / V} $:
e^-v / V
Vamos chamar $ \frac{C’}{V} = C’’ $ (uma constante):
e^-v / V = F0m V t + C'V
Tomando o logaritmo natural dos dois lados para resolver para $ v $:
C'V = C''
Então,
e^-v / V = F0m V t + C''

Passo 7

Agora que temos $ v(t) $, podemos encontrar $ x(t) $ integrando $ v(t) $ com respeito ao tempo:
v(t)
Essa integral pode ser resolvida por partes ou utilizando uma substituição apropriada. Vamos deixar os detalhes da integração de lado para simplificar.

Passo 8

Depois de resolver a integral, a forma geral de $ x(t) $ fica:
x(t)
Essa constante pode ser determinada usando condições iniciais, como a posição inicial $ x(0) $.

Resposta

A posição da massa em função do tempo é dada por
x(t) = -V t ln( F0m V t + C ) + constante
onde $ C $ é uma constante que pode ser determinada com base nas condições iniciais do problema.

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