Bonus: Analisar se pode ser bem definida no intervalo . É possível calcular a área por baixo da curva para ?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A função que a gente tem é . O gerente quer saber se essa função pode ser bem definida no intervalo de . Além disso, ele quer saber se dá pra calcular a área debaixo da curva dessa função nesse mesmo intervalo. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre limites e integrais. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, precisamos ver se a função está bem definida em todo o intervalo de . Olhando rápido, vemos que quando , a função parece dar uma divisão por zero, o que não é permitido. Mas calma, isso não significa que a função não pode ser definida ali; às vezes a gente consegue estender a definição usando limites.

Passo 3

Vamos calcular o limite de quando se aproxima de 0. Isso vai nos ajudar a definir o valor de de forma que a função fique contínua no ponto. O limite é:
Para resolver isso, vamos usar a regra de L’Hôpital, que é útil quando temos uma forma indeterminada como . A regra diz que podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e depois calcular o limite.

Passo 4

Derivando o numerador e o denominador:
  • Derivada de em relação a é .
  • Derivada de em relação a é 1.
Então, aplicando a regra de L’Hôpital:
Isso significa que podemos definir para tornar a função contínua no intervalo .

Passo 5

Agora que sabemos que está bem definida em todo o intervalo , vamos ver se podemos calcular a área debaixo da curva dessa função nesse intervalo. Para isso, vamos usar a integral definida de de 0 a 1:
No entanto, essa integral não é uma integral elementar, ou seja, não pode ser expressa de forma simples usando funções básicas. Mas podemos analisar se ela converge.

Passo 6

Para verificar a convergência da integral, notamos que perto de , a função se comporta como (usando a expansão em série de Taylor para ). Como é uma função contínua perto de 0, a integral de de 0 a 1 é convergente.

Resposta

Sim, a função pode ser bem definida no intervalo definindo . Além disso, é possível calcular a área por baixo da curva de para .

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