Bonus: Analisar se
pode ser bem definida no intervalo
. É possível calcular a área por baixo da curva
para
?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A função que a gente tem é
. O gerente quer saber se essa função pode ser bem definida no intervalo de
. Além disso, ele quer saber se dá pra calcular a área debaixo da curva dessa função nesse mesmo intervalo. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre limites e integrais. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, precisamos ver se a função
está bem definida em todo o intervalo de
. Olhando rápido, vemos que quando
, a função parece dar uma divisão por zero, o que não é permitido. Mas calma, isso não significa que a função não pode ser definida ali; às vezes a gente consegue estender a definição usando limites.
Passo 3
Vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de 0. Isso vai nos ajudar a definir o valor de
de forma que a função fique contínua no ponto. O limite é:
Para resolver isso, vamos usar a regra de L’Hôpital, que é útil quando temos uma forma indeterminada como
. A regra diz que podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e depois calcular o limite.
Passo 4
Derivando o numerador e o denominador:
- Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a é 1.
Então, aplicando a regra de L’Hôpital:
Isso significa que podemos definir
para tornar a função contínua no intervalo
.
Passo 5
Agora que sabemos que
está bem definida em todo o intervalo
, vamos ver se podemos calcular a área debaixo da curva dessa função nesse intervalo. Para isso, vamos usar a integral definida de
de 0 a 1:
No entanto, essa integral não é uma integral elementar, ou seja, não pode ser expressa de forma simples usando funções básicas. Mas podemos analisar se ela converge.
Passo 6
Para verificar a convergência da integral, notamos que perto de
, a função
se comporta como
(usando a expansão em série de Taylor para
). Como
é uma função contínua perto de 0, a integral de
de 0 a 1 é convergente.
Resposta
Sim, a função
pode ser bem definida no intervalo
definindo
. Além disso, é possível calcular a área por baixo da curva de
para
.
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Calcular as seguintes integrais:
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