Calcular as seguintes integrais:
integral e^2 xraize^x+1 d x

Passo 1

Vamos calcular a integral .
Esse exercício envolve o cálculo de integrais usando a técnica de substituição. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar a expressão da integral através de uma substituição adequada.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para facilitar a integral. Vamos definir:
u = e^x + 1
Agora, vamos derivar dudx = e^x implies du = e^x , dx em relação a para encontrar :

Passo 3

Na integral original, temos e^2x = (e^x)^2 . Podemos reescrever e^x = u - 1 como e^2x = (u - 1)^2 , ou seja:
Sabendo que , podemos expressar em termos de :
Substituindo isso na expressão de :

Passo 4

Agora, substituímos integral e^2xraize^x+1 , dx = integral (u - 1)^2raizu cdot due^x e integral (u - 1)^2raizu cdot 1u - 1 , du = integral u - 1raizu , du em termos de na integral original:
Como , podemos simplificar:

Passo 5

Vamos simplificar a integral:
integral u - 1raizu , du = integral ( uraizu - 1raizu ) , du = integral ( u^12 - u^-12 ) , du
Aqui, usamos a propriedade das potências para simplificar os termos dentro da integral.

Passo 6

Agora, integramos termo a termo:
integral u^12 , du - integral u^-12 , du = 23 u^32 - 2 u^12 + C
Onde é a constante de integração.

Resposta

Substituindo 23 (e^x + 1)^32 - 2 raize^x + 1 + C de volta na expressão, temos:
Essa é a solução final da integral.

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