Calcular as seguintes integrais:
integral 2^x sin (3 x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral 2^x sin (3 x) , dx. Esse exercício está na área de cálculo, mais precisamente em integração de funções exponenciais multiplicadas por funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de integração por partes, que nos ajuda a integrar o produto de duas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função exponencial 2^x de uma maneira que facilite a aplicação das fórmulas de integração. Sabemos que 2^x = e^x ln 2. Então, nossa integral fica:
integral e^x ln 2 sin(3x) , dx

Passo 3

Agora, vamos usar a fórmula de integração para funções do tipo e^ax sin(bx). A fórmula é:
integral e^ax sin(bx) , dx = e^axa^2 + b^2 (a sin(bx) - b cos(bx)) + C
Aqui, a = ln 2 e b = 3. Vamos substituir esses valores na fórmula.

Passo 4

Substituindo a = ln 2 e b = 3 na fórmula, temos:
integral e^x ln 2 sin(3x) , dx = e^x ln 2(ln 2)^2 + 9 ( (ln 2) sin(3x) - 3 cos(3x) ) + C

Passo 5

Finalmente, voltando à nossa expressão original 2^x = e^x ln 2, substituímos de volta:
integral 2^x sin(3x) , dx = 2^x(ln 2)^2 + 9 ( (ln 2) sin(3x) - 3 cos(3x) ) + C

Resposta

Portanto, a integral é:
integral 2^x sin(3x) , dx = 2^x(ln 2)^2 + 9 ( (ln 2) sin(3x) - 3 cos(3x) ) + C

Exercícios relacionados