A velocidade de uma partícula, que se traslada numa reta, está dada pela função v(t) = e^(2 t) no tempo t.
Se p(t) representa a posição da partícula no tempo t. Sabendo que p(0) = 0, qual é a posição da particula depois de 5 segundos?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a velocidade de uma partícula numa reta, dada por . A gente precisa encontrar a posição dessa partícula depois de 5 segundos, sabendo que no tempo , a posição . Para isso, vamos usar o conceito de integração, que é essencial para relacionar velocidade e posição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a posição é a integral da velocidade . Ou seja:
Aqui, é a constante de integração que vamos determinar usando a condição inicial.

Passo 3

Vamos calcular a integral de :
Então, a posição fica:

Passo 4

Agora, usamos a condição inicial para encontrar . Substituindo na equação:

Passo 5

Com encontrado, a função da posição fica:

Passo 6

Finalmente, substituímos segundos para encontrar a posição:
Se você quiser o valor numérico, é aproximadamente 22026.4658, então:

Resposta

A posição da partícula depois de 5 segundos é aproximadamente unidades.

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