(Bônus) Determine o plano tangente a superfície x y z = 1 x > 0, y > 0, z > 0, que é paralelo ao plano 2x + 2y + 2z + 3 = 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o plano tangente à superfície (com ) que é paralelo ao plano .
O que vamos precisar:
  • Conhecimento sobre planos tangentes a superfícies.
  • Entender quando dois planos são paralelos.
  • Derivadas parciais para encontrar a equação do plano tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um plano tangente a uma superfície. A equação geral do plano tangente a uma superfície dada por no ponto é:
Aqui, , e são as derivadas parciais de em relação a , e , respectivamente.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso à nossa superfície . Vamos considerar . Então, precisamos calcular as derivadas parciais:

Passo 4

Para encontrar o plano tangente, precisamos de um ponto na superfície . Além disso, queremos que esse plano seja paralelo ao plano .
Dois planos são paralelos se seus vetores normais são múltiplos um do outro. O vetor normal do plano é . O vetor normal do plano tangente à nossa superfície será . Então, queremos que:
Para algum número .

Passo 5

Isso significa que:
Como todas as três expressões são iguais a , podemos igualá-las entre si:
Então, temos que .

Passo 6

Sabendo que e que , podemos substituir:
Portanto, .

Passo 7

Agora que temos o ponto de tangência , vamos usar as derivadas parciais para encontrar o vetor normal:
Então, o vetor normal é .

Passo 8

Agora, podemos escrever a equação do plano tangente usando o ponto e o vetor normal :
Simplificando:

Resposta

O plano tangente à superfície que é paralelo a é:

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