(Bônus) Determine o plano tangente a superfície
, que é paralelo ao plano
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o plano tangente à superfície
(com
) que é paralelo ao plano
.
O que vamos precisar:
- Conhecimento sobre planos tangentes a superfícies.
- Entender quando dois planos são paralelos.
- Derivadas parciais para encontrar a equação do plano tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa um plano tangente a uma superfície. A equação geral do plano tangente a uma superfície dada por
no ponto
é:
Aqui,
,
e
são as derivadas parciais de
em relação a
,
e
, respectivamente.
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso à nossa superfície
. Vamos considerar
. Então, precisamos calcular as derivadas parciais:
Passo 4
Para encontrar o plano tangente, precisamos de um ponto
na superfície
. Além disso, queremos que esse plano seja paralelo ao plano
.
Dois planos são paralelos se seus vetores normais são múltiplos um do outro. O vetor normal do plano
é
. O vetor normal do plano tangente à nossa superfície será
. Então, queremos que:
Para algum número
.
Passo 5
Isso significa que:
Como todas as três expressões são iguais a
, podemos igualá-las entre si:
Então, temos que
.
Passo 6
Sabendo que
e que
, podemos substituir:
Portanto,
.
Passo 7
Agora que temos o ponto de tangência
, vamos usar as derivadas parciais para encontrar o vetor normal:
Então, o vetor normal é
.
Passo 8
Agora, podemos escrever a equação do plano tangente usando o ponto
e o vetor normal
:
Simplificando:
Resposta
O plano tangente à superfície
que é paralelo a
é: