Seja
um corpo. Prove os seguintes fatos:
(Unicidade da unidade) Se
é tal que
, então
.
(Unicidade da unidade) Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para provar que em um corpo
, a unidade (ou elemento neutro) para a multiplicação é única. Isso faz parte do estudo de Estruturas Algébricas, mais especificamente Teoria de Corpos. Para resolver isso, vamos precisar usar as propriedades de um corpo, como a existência de elementos neutros e a comutatividade da multiplicação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ser uma unidade em um corpo. Um elemento
é a unidade multiplicativa se, para todo elemento
, temos
. A questão sugere que existe outro elemento
que também satisfaz essa propriedade: para todo
,
.
Passo 3
Para provar que
, vamos utilizar a propriedade que todo elemento multiplicado pela unidade original
resulta no próprio elemento. Vamos aplicar isso especificamente com
. Ou seja, substituímos
por
na equação
.
Passo 4
Segundo a propriedade da unidade
, sabemos que
. Mas também, já que
é uma unidade, temos que
. Então, temos duas igualdades:
Como a multiplicação é comutativa em um corpo, podemos igualar as duas expressões:
Resposta
Portanto, mostramos que
, ou seja, a unidade em um corpo é única.