Seja K um corpo. Prove os seguintes fatos:
(Unicidade da unidade) Se 1' in K é tal que x * 1' = x, para todo x em K, então 1' = 1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para provar que em um corpo K, a unidade (ou elemento neutro) para a multiplicação é única. Isso faz parte do estudo de Estruturas Algébricas, mais especificamente Teoria de Corpos. Para resolver isso, vamos precisar usar as propriedades de um corpo, como a existência de elementos neutros e a comutatividade da multiplicação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ser uma unidade em um corpo. Um elemento é a unidade multiplicativa se, para todo elemento x em K, temos . A questão sugere que existe outro elemento que também satisfaz essa propriedade: para todo x em K, .

Passo 3

Para provar que , vamos utilizar a propriedade que todo elemento multiplicado pela unidade original 1 resulta no próprio elemento. Vamos aplicar isso especificamente com . Ou seja, substituímos x por na equação .

Passo 4

Segundo a propriedade da unidade 1, sabemos que . Mas também, já que é uma unidade, temos que . Então, temos duas igualdades:
Como a multiplicação é comutativa em um corpo, podemos igualar as duas expressões:

Resposta

Portanto, mostramos que , ou seja, a unidade em um corpo é única.

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