Utilize a Transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial:
y' + 3y = e^(-2t), y(0) = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra resolver uma equação diferencial usando a Transformada de Laplace. A equação é com a condição inicial . Pra isso, a gente vai precisar entender como aplicar a Transformada de Laplace em derivadas e resolver a equação resultante.

Passo 2

Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em cada termo da equação. Lembrando que:
Como , fica:
E para , temos:
Para o lado direito, a transformada de é:

Passo 3

Substituindo na equação original transformada:
Agora, vamos juntar os termos de :

Passo 4

Para isolar , dividimos ambos os lados por :
Agora, precisamos simplificar essa expressão pra achar aplicando a Transformada de Laplace inversa.

Passo 5

Vamos decompor em frações parciais. Queremos escrever:
Multiplicando ambos os lados por :
Para achar e , escolhemos valores de que simplificam a equação.

Passo 6

Escolhendo :
Escolhendo :

Passo 7

Agora, substituindo e :
Para achar , aplicamos a Transformada de Laplace inversa:
Sabemos que , então:

Passo 8

Calculando as transformadas inversas:

Resposta

A solução da equação diferencial é .

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