Utilize a Transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra resolver uma equação diferencial usando a Transformada de Laplace. A equação é
com a condição inicial
. Pra isso, a gente vai precisar entender como aplicar a Transformada de Laplace em derivadas e resolver a equação resultante.
Passo 2
Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em cada termo da equação. Lembrando que:
Como
, fica:
E para
, temos:
Para o lado direito, a transformada de
é:
Passo 3
Substituindo na equação original transformada:
Agora, vamos juntar os termos de
:
Passo 4
Para isolar
, dividimos ambos os lados por
:
Agora, precisamos simplificar essa expressão pra achar
aplicando a Transformada de Laplace inversa.
Passo 5
Vamos decompor em frações parciais. Queremos escrever:
Multiplicando ambos os lados por
:
Para achar
e
, escolhemos valores de
que simplificam a equação.
Passo 6
Escolhendo
:
Escolhendo
:
Passo 7
Agora, substituindo
e
:
Para achar
, aplicamos a Transformada de Laplace inversa:
Sabemos que
, então:
Passo 8
Calculando as transformadas inversas:
Resposta
A solução da equação diferencial é
.