Seja K um corpo. Prove os seguintes fatos:
Dados a, b pertencem a K, mostre que a equação a * x = b tem solução única.

Passo 1

Ok, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um corpo K, que é um conjunto com certas propriedades matemáticas. Dado dois elementos a e b em K, queremos mostrar que a equação tem uma única solução. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as propriedades dos corpos, especialmente sobre a existência de inversos multiplicativos.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar o que é um corpo. Um corpo é um conjunto onde podemos fazer as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão (exceto por zero) de forma que todas as propriedades usuais dessas operações sejam válidas. Isso significa, por exemplo, que todo elemento diferente de zero tem um inverso multiplicativo.

Passo 3

Agora, para resolver a equação , onde a != 0 (já que em um corpo, 0 não tem inverso multiplicativo), queremos encontrar um valor de x que, quando multiplicado por a, resulta em b.

Passo 4

Como a tem um inverso multiplicativo, denotado por , podemos multiplicar ambos os lados da equação por para isolar x. Vamos fazer isso:

Passo 5

Usando a propriedade associativa da multiplicação, temos:
Sabemos que , onde 1 é o elemento neutro da multiplicação no corpo K. Então:
E como , simplificamos para:

Passo 6

Assim, encontramos que a única solução para a equação é . Como usamos o inverso multiplicativo único de a para encontrar x, essa solução é única.

Resposta

A equação tem uma solução única, que é .

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