Seja
um corpo. Prove os seguintes fatos:
Dados
, mostre que a equação
tem solução única.
Dados
Passo 1
Ok, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um corpo
, que é um conjunto com certas propriedades matemáticas. Dado dois elementos
e
em
, queremos mostrar que a equação
tem uma única solução. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as propriedades dos corpos, especialmente sobre a existência de inversos multiplicativos.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar o que é um corpo. Um corpo é um conjunto onde podemos fazer as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão (exceto por zero) de forma que todas as propriedades usuais dessas operações sejam válidas. Isso significa, por exemplo, que todo elemento diferente de zero tem um inverso multiplicativo.
Passo 3
Agora, para resolver a equação
, onde
(já que em um corpo, 0 não tem inverso multiplicativo), queremos encontrar um valor de
que, quando multiplicado por
, resulta em
.
Passo 4
Como
tem um inverso multiplicativo, denotado por
, podemos multiplicar ambos os lados da equação por
para isolar
. Vamos fazer isso:
Passo 5
Usando a propriedade associativa da multiplicação, temos:
Sabemos que
, onde
é o elemento neutro da multiplicação no corpo
. Então:
E como
, simplificamos para:
Passo 6
Assim, encontramos que a única solução para a equação
é
. Como usamos o inverso multiplicativo único de
para encontrar
, essa solução é única.
Resposta
A equação
tem uma solução única, que é
.