(Bônus) A função f(x) = cos(x) é inversível no intervalo [0, pi]. Calcule arccos'(y).

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem a função que é inversível no intervalo . O desafio é calcular a derivada da função inversa de cosseno, que é a . Para resolver isso, vamos precisar saber sobre funções inversas e derivadas.

Passo 2

Primeiro, lembra que quando você tem uma função inversa, a derivada dela pode ser encontrada usando uma fórmula específica. Se é inversível e tem derivada, então a derivada da função inversa em um ponto é dada por:
onde . Isso significa que precisamos encontrar a derivada de em e depois inverter esse valor.

Passo 3

Vamos encontrar a derivada de . Sabemos que a derivada de cosseno é:
Então, a derivada de em é .

Passo 4

Agora, queremos expressar tudo em termos de . Sabemos que , então podemos substituir na expressão da derivada:
Mas pode ser reescrito usando a identidade trigonométrica:
porque .

Passo 5

Substituindo na fórmula da derivada, temos:
Então, a derivada da função em relação a é .

Resposta

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