(Bônus) A função
é inversível no intervalo
. Calcule
.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem a função
que é inversível no intervalo
. O desafio é calcular a derivada da função inversa de cosseno, que é a
. Para resolver isso, vamos precisar saber sobre funções inversas e derivadas.
Passo 2
Primeiro, lembra que quando você tem uma função inversa, a derivada dela pode ser encontrada usando uma fórmula específica. Se
é inversível e tem derivada, então a derivada da função inversa
em um ponto
é dada por:
onde
. Isso significa que precisamos encontrar a derivada de
em
e depois inverter esse valor.
Passo 3
Vamos encontrar a derivada de
. Sabemos que a derivada de cosseno é:
Então, a derivada de
em
é
.
Passo 4
Agora, queremos expressar tudo em termos de
. Sabemos que
, então podemos substituir na expressão da derivada:
Mas
pode ser reescrito usando a identidade trigonométrica:
porque
.
Passo 5
Substituindo
na fórmula da derivada, temos:
Então, a derivada da função
em relação a
é
.