Encontre a equação da reta normal à hipérbole
passando pelos pontos
e
. Verifique que se trata da mesma reta. Faça um gráfico.
Passo 1
Vamos começar resumindo o que o exercício pede. Temos a hipérbole definida por
e precisamos encontrar a equação da reta normal a essa hipérbole que passa pelos pontos
e
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas para encontrar a inclinação da reta tangente e, a partir daí, determinar a reta normal.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva. Usando a regra de derivação, temos:
Essa expressão nos dá a inclinação da reta tangente no ponto
da hipérbole.
Passo 3
A reta normal é perpendicular à reta tangente. Portanto, a inclinação da reta normal será o negativo do inverso da inclinação da reta tangente. Se a inclinação da tangente é
, então a inclinação da normal será:
Passo 4
Agora, sabemos que a reta normal passa pelos pontos
e
. Vamos verificar se a inclinação
é a mesma para ambos os pontos.
Para
:
Para
:
Ambos os pontos têm a mesma inclinação para a reta normal, o que confirma que estamos lidando com a mesma reta.
Passo 5
Com a inclinação
e sabendo que a reta passa por
, podemos usar a fórmula da equação da reta:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos verificar se esse mesmo resultado é válido para o ponto
. Substituindo na equação
:
A igualdade se confirma, então a reta normal
passa por ambos os pontos.
Passo 7
Por fim, podemos fazer um gráfico representando a hipérbole
e a reta normal
. A reta
é uma linha que passa pelos pontos
e
e é perpendicular à hipérbole nesses pontos.
Resposta
A equação da reta normal à hipérbole
que passa pelos pontos
e
é
.
Exercícios relacionados
(Bônus) A função
é inversível no intervalo
. Calcule
.
Esboce o gráfico de
considerando:
(e) Limites no infinito
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Esboce o gráfico de
considerando:
(d) Intervalos de crescimento e decrescimento
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Esboce o gráfico de
considerando:
© Máximos e mínimos locais
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