Encontre a equação da reta normal à hipérbole passando pelos pontos e . Verifique que se trata da mesma reta. Faça um gráfico.

Passo 1

Vamos começar resumindo o que o exercício pede. Temos a hipérbole definida por e precisamos encontrar a equação da reta normal a essa hipérbole que passa pelos pontos e . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas para encontrar a inclinação da reta tangente e, a partir daí, determinar a reta normal.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função . A derivada nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva. Usando a regra de derivação, temos:
Essa expressão nos dá a inclinação da reta tangente no ponto da hipérbole.

Passo 3

A reta normal é perpendicular à reta tangente. Portanto, a inclinação da reta normal será o negativo do inverso da inclinação da reta tangente. Se a inclinação da tangente é , então a inclinação da normal será:

Passo 4

Agora, sabemos que a reta normal passa pelos pontos e . Vamos verificar se a inclinação é a mesma para ambos os pontos.
Para :
Para :
Ambos os pontos têm a mesma inclinação para a reta normal, o que confirma que estamos lidando com a mesma reta.

Passo 5

Com a inclinação e sabendo que a reta passa por , podemos usar a fórmula da equação da reta:
Substituindo os valores:
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos verificar se esse mesmo resultado é válido para o ponto . Substituindo na equação :
A igualdade se confirma, então a reta normal passa por ambos os pontos.

Passo 7

Por fim, podemos fazer um gráfico representando a hipérbole e a reta normal . A reta é uma linha que passa pelos pontos e e é perpendicular à hipérbole nesses pontos.

Resposta

A equação da reta normal à hipérbole que passa pelos pontos e é .

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