Esboce o gráfico de considerando:
(e) Limites no infinito

Passo 1

Beleza, vamos resolver a parte (e) desse exercício que pede para a gente encontrar os limites da função quando tende ao infinito. Aqui, estamos trabalhando com funções racionais e especificamente analisando os limites no infinito. Para isso, vamos precisar entender como as potências de no numerador e denominador influenciam o comportamento da função conforme cresce sem limite.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o grau do numerador e do denominador da função. O numerador é , que é de primeiro grau, e o denominador é , que é de segundo grau. Quando o grau do denominador é maior que o do numerador, sabemos que, conforme tende ao infinito, o valor da função tende a zero. Isso porque o denominador cresce muito mais rápido que o numerador, fazendo com que a fração diminua cada vez mais.

Passo 3

Vamos formalizar isso calculando o limite quando vai para e para .
Para :
E para :
Em ambos os casos, o limite é zero.

Resposta

Os limites de quando tende ao infinito são iguais a zero.

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(Bônus) A função é inversível no intervalo . Calcule .
Encontre a equação da reta normal à hipérbole passando pelos pontos e . Verifique que se trata da mesma reta. Faça um gráfico.