Esboce o gráfico de
considerando:
(e) Limites no infinito
(e) Limites no infinito
Passo 1
Beleza, vamos resolver a parte (e) desse exercício que pede para a gente encontrar os limites da função
quando
tende ao infinito. Aqui, estamos trabalhando com funções racionais e especificamente analisando os limites no infinito. Para isso, vamos precisar entender como as potências de
no numerador e denominador influenciam o comportamento da função conforme
cresce sem limite.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o grau do numerador e do denominador da função. O numerador é
, que é de primeiro grau, e o denominador é
, que é de segundo grau. Quando o grau do denominador é maior que o do numerador, sabemos que, conforme
tende ao infinito, o valor da função tende a zero. Isso porque o denominador cresce muito mais rápido que o numerador, fazendo com que a fração diminua cada vez mais.
Passo 3
Vamos formalizar isso calculando o limite quando
vai para
e para
.
Para
:
E para
:
Em ambos os casos, o limite é zero.
Resposta
Os limites de
quando
tende ao infinito são iguais a zero.
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(Bônus) A função
é inversível no intervalo
. Calcule
.
Encontre a equação da reta normal à hipérbole
passando pelos pontos
e
. Verifique que se trata da mesma reta. Faça um gráfico.