(Bônus) Uma parametrização para a astróide é
α(t) = (cos^3(t), sen^3(t)), 0 <= t <= 2 pi
Determine o comprimento da astróide.

Passo 1

Beleza, então o que a gente tem aqui é uma parametrização da astróide dada por para . Nosso objetivo é descobrir qual é o comprimento dessa curva. Para isso, vamos precisar usar o cálculo de comprimentos de curvas parametrizadas, que envolve derivadas e integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função em relação a . Isso significa derivar cada componente da parametrização.
Usando a regra da cadeia:

Passo 3

Agora, precisamos calcular a magnitude (ou norma) dessa derivada, que é essencial para encontrar o comprimento da curva. A fórmula para a magnitude de é:
Simplificando dentro da raiz:
Sabemos que , então:

Passo 4

O próximo passo é integrar essa magnitude ao longo do intervalo de a para encontrar o comprimento total da astróide:
Para facilitar a integração, lembramos que , então podemos reescrever:

Passo 5

Agora, vamos integrar :
Aplicando os limites de integração:
Sabemos que , então:
Mas isso não faz sentido para o comprimento, então precisamos revisar. O erro está na ausência do valor absoluto na magnitude. Vamos corrigir isso.

Passo 6

Na verdade, a magnitude deve ser sempre positiva, então devemos integrar o valor absoluto:
Usando a identidade , temos:
Portanto:

Resposta

O comprimento da astróide é unidades.

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Seja C um caminho qualquer ligando os pontos z1 e z2. Mostre que integralC 1 cdot d z só depende de z1 e z2 ou, precisamente, que
integralC 1 cdot d z=z2-z1
Conclua que
ointC 1 cdot d z=0
para qualquer caminho fechado C.
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Nos itens 1 a 3, mostre que integralC f(z) d z=0 ( f e C serão especificados).
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