(Bônus) Uma parametrização para a astróide é
Determine o comprimento da astróide.
Passo 1
Beleza, então o que a gente tem aqui é uma parametrização da astróide dada por para
. Nosso objetivo é descobrir qual é o comprimento dessa curva. Para isso, vamos precisar usar o cálculo de comprimentos de curvas parametrizadas, que envolve derivadas e integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
em relação a
. Isso significa derivar cada componente da parametrização.
Usando a regra da cadeia:
Passo 3
Agora, precisamos calcular a magnitude (ou norma) dessa derivada, que é essencial para encontrar o comprimento da curva. A fórmula para a magnitude de
é:
Simplificando dentro da raiz:
Sabemos que , então:
Passo 4
O próximo passo é integrar essa magnitude ao longo do intervalo de
a
para encontrar o comprimento total da astróide:
Para facilitar a integração, lembramos que , então podemos reescrever:
Passo 5
Agora, vamos integrar :
Aplicando os limites de integração:
Sabemos que
, então:
Mas isso não faz sentido para o comprimento, então precisamos revisar. O erro está na ausência do valor absoluto na magnitude. Vamos corrigir isso.
Passo 6
Na verdade, a magnitude
deve ser sempre positiva, então devemos integrar o valor absoluto:
Usando a identidade , temos:
Portanto:
Resposta
O comprimento da astróide é
unidades.
Exercícios relacionados
Seja
um caminho qualquer ligando os pontos
e
. Mostre que
só depende de
e
ou, precisamente, que
Conclua que
para qualquer caminho fechado
.
Calcule a curvatura da curva
.
Nos itens 1 a 3, mostre que
(
e
serão especificados).
Seja
a equação de uma curva
que tem inclinação igual a 1 em
. Se
, determine a curvatura de
quando
.