Calcule a curvatura da curva
.
Passo 1
Aqui a gente tem uma curva definida por
. O objetivo é calcular a curvatura dessa curva. Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas da curva e a fórmula para a curvatura.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as componentes da curva
:
Calculando as integrais:
Portanto,
Passo 3
Agora, vamos encontrar a primeira derivada
:
Passo 4
Em seguida, calculamos a segunda derivada
:
Passo 5
A curvatura
de uma curva parametrizada por
é dada por:
No caso de curvas no plano, o produto vetorial
resulta em um escalar que representa a área do paralelogramo formado pelos vetores.
Passo 6
Calculando o produto vetorial:
Portanto,
Passo 7
Calculamos agora o módulo de
:
Então,
Passo 8
Finalmente, aplicando na fórmula da curvatura:
Resposta
A curvatura da curva
é
.