Calcule a curvatura da curva alpha(t)=(integrala^t sen z d z, integrala^t cos z d z).

Passo 1

Aqui a gente tem uma curva definida por . O objetivo é calcular a curvatura dessa curva. Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas da curva e a fórmula para a curvatura.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as componentes da curva alpha(t) = ( integrala^t sin z , dz, integrala^t cos z , dz ) :
integrala^t sin z , dz = -cos t + cos a
Calculando as integrais:
integrala^t cos z , dz = sin t - sin a
alpha(t) = ( -cos t + cos a, sin t - sin a )
Portanto,

Passo 3

Agora, vamos encontrar a primeira derivada alpha'(t) = ( ddt (-cos t + cos a), ddt (sin t - sin a) ) = ( sin t, cos t ) :

Passo 4

Em seguida, calculamos a segunda derivada alpha''(t) = ( ddt sin t, ddt cos t ) = ( cos t, -sin t ) :

Passo 5

A curvatura kappa = |alpha'(t) times alpha''(t)||alpha'(t)|^3 de uma curva parametrizada por é dada por:
No caso de curvas no plano, o produto vetorial resulta em um escalar que representa a área do paralelogramo formado pelos vetores.

Passo 6

Calculando o produto vetorial:
alpha'(t) times alpha''(t) = sin t cdot (-sin t) - cos t cdot cos t = -sin^2 t - cos^2 t = -(sin^2 t + cos^2 t) = -1
Portanto,
|alpha'(t) times alpha''(t)| = | -1 | = 1

Passo 7

Calculamos agora o módulo de |alpha'(t)| = raiz(sin t)^2 + (cos t)^2 = raizsin^2 t + cos^2 t = raiz1 = 1 :
|alpha'(t)|^3 = 1^3 = 1
Então,

Passo 8

Finalmente, aplicando na fórmula da curvatura:
kappa = 11 = 1

Resposta

A curvatura da curva é .

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