Nos itens 1 a 3, mostre que integralC f(z) d z=0 ( f e C serão especificados).

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Precisamos mostrar que a integral de f(z) ao longo do caminho C é igual a zero, ou seja, integralC f(z) , dz = 0. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo complexo, especialmente o Teorema de Cauchy, que nos diz que se uma função é analítica (ou seja, diferenciável) em toda a região dentro e sobre uma curva fechada C, então a integral dessa função ao longo de C é zero. Então, vamos precisar verificar se a função f(z) é analítica na região definida por C.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a função f(z) é analítica dentro e sobre o caminho C. Uma função é analítica se ela é diferenciável em todos os pontos do domínio considerado. Isso significa que ela não possui singularidades (como polos ou pontos de descontinuidade) dentro da região delimitada por C. Se f(z) satisfaz essa condição, podemos aplicar o Teorema de Cauchy diretamente.

Passo 3

Agora, vamos confirmar se o caminho C é uma curva fechada e se ele está contido na região onde f(z) é analítica. Uma curva fechada significa que o caminho começa e termina no mesmo ponto, formando um laço sem começar ou terminar em lugares diferentes. Se ambas as condições forem verdadeiras — ou seja, f(z) é analítica dentro e sobre C e C é uma curva fechada — então, de acordo com o Teorema de Cauchy, a integral de f(z) ao longo de C realmente será zero.

Resposta

Portanto, concluímos que integralC f(z) , dz = 0.

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