Nos itens 1 a 3, mostre que
(
e
serão especificados).
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Precisamos mostrar que a integral de
ao longo do caminho
é igual a zero, ou seja,
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo complexo, especialmente o Teorema de Cauchy, que nos diz que se uma função é analítica (ou seja, diferenciável) em toda a região dentro e sobre uma curva fechada
, então a integral dessa função ao longo de
é zero. Então, vamos precisar verificar se a função
é analítica na região definida por
.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a função
é analítica dentro e sobre o caminho
. Uma função é analítica se ela é diferenciável em todos os pontos do domínio considerado. Isso significa que ela não possui singularidades (como polos ou pontos de descontinuidade) dentro da região delimitada por
. Se
satisfaz essa condição, podemos aplicar o Teorema de Cauchy diretamente.
Passo 3
Agora, vamos confirmar se o caminho
é uma curva fechada e se ele está contido na região onde
é analítica. Uma curva fechada significa que o caminho começa e termina no mesmo ponto, formando um laço sem começar ou terminar em lugares diferentes. Se ambas as condições forem verdadeiras — ou seja,
é analítica dentro e sobre
e
é uma curva fechada — então, de acordo com o Teorema de Cauchy, a integral de
ao longo de
realmente será zero.
Resposta
Portanto, concluímos que
.
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(Bônus) Uma parametrização para a astróide é
Determine o comprimento da astróide.
Seja
um caminho qualquer ligando os pontos
e
. Mostre que
só depende de
e
ou, precisamente, que
Conclua que
para qualquer caminho fechado
.
Seja
a equação de uma curva
que tem inclinação igual a 1 em
. Se
, determine a curvatura de
quando
.
O campo de velocidades de um fluido e
. Encontre o escoamento ao longo da hélice
.